Dm sur les fonctions

[Blandine]

Bonjour ,
je dois faire un Dm sur les fonctions , mais il est très difficile et je ne comprend rien !! Svp , si vous pourriez m'aider sa serait très gentil .

On appelle " arbelos d'archimède " le domaine délimité par les 3 demi cercle de diamètres respectifs [AB] , [AM] et [MB] , comme sur la figure ci contre .
On désigne par P (x) le périmètre de l'arbelos et par A(x) l'aide de l'arbelos .

1/ Montrer que P(x) est constant pour x appartient à [0, 6 ] .
2/ Montrer que A(x) = PI /4 (6x-x2 ) , avec x appartient à [O , 6 ]
3 / Que vaut A ( O ) ? Et A (6) ?
4 / En déduire que l'aire de l'arbelos est maximale pour certaine valeur de x que l'on précisera .

Voici le shéma

Merci d'y répondre rapidement svp , merci d'avance !!

[sos-math(22)]

Bonsoir Blandine,
Tu sais qu'il ne s'agit pas pour moi de faire ton devoir à ta place !
Je vais donc seulement t'aider à commencer tes recherches.
Pour la question 1), tu dois savoir exprimer le périmètre d'un cercle en fonction de diamètre ; donc celui d'un demi-cercle.
Ici, on a AM=x, BM=6-x, donc...
Bon courage.

[Blandine]

Merci !
Mais le périmètre d'un demi cerle est : Pi * R
Donc moi j'ai fait : Pi * 6-x
Mais je trouve environ 14, 6 mais aprés je ne vois pas le rapport avec la question 1 , je ne la comprend pas !!
Si vous pourriez m'aider svp !! Merci

[sos-math(22)]

Bonjour Blandine,
Fais attention à ne pas confondre rayon et diamètre.
Le demi-périmètre est bien \(\pi R\) et donc \(\pi\frac{D}{2}\).
Ensuite, il te faudra calculer le périmètre de tout l'Arbelos qui est constitué de trois demi-cercles.
Enfin, inutile de donner des valeurs approchées, ce n'est pas demandé.
Bon courage.

[Blandine]

Alors j"ai tout repris :
AM = pi * x/2
MB = pi * 6-x / 2
AB = pi * 6/2 = 3 pi

Périmètre arbelos :
pi / 1 * x/2 + 6-x /2 + pi /1 * 6/2
= 24 pi

Voila j'ai fait sa mais je comprend toujours pas le raport !!

[sos-math(22)]

Bonsoir Blandine,

L'arc AM mesure bien \(\pi \times \frac{x}{2}\).

De même, l'arc MB mesure \(\pi \times \frac{6-x}{2}\) et l'arc AB \(\pi \times \frac{6}{2}=3\pi\).

Le périmètre de l'arbelos est donc égal à \(\pi(\frac{x}{2}+\frac{6-x}{2}+3)=6\pi\) et non pas \(24\pi\) !

Mais tu ne vois pas le rapport avec quoi au juste ?

Bonne continuation.

[blandine]

Bonjour , merci pour votre réponse !

Je trouve 6 pi qui est environ = a 18
Et il me demande de montrer que p(x) est constant pour x appartient a {0.6]
Je ne vois pas comment le démontrer puisque se résultat ne fait pas partie de l'intervale , si vous pourriez m'aider merci !

[sos-math(22)]

Bonjour,
On a donc démontré que P(x)=\(6\times\pi\) pour tout x appartenant à [0, 6 ].
Cela veut bien dire que P(x) est constant et indépendant de la valeur de x.
Bon courage.

[Blandine]

A ok , je comprend mieux merci !!
Pour le 2
Am = x² pi / 4
MB = x² - 36pi / 4
AB = 9 / 2 pi
Mais j'arrive pas a calculer l'aire totale pour arriver a l'expression que l'on me demande !
Si vous pourriez continuer a m'aider svp !! Merc beaucoup

[sos-math(22)]

Bonjour,
Pour le 2), il soustraire les aires des deux demi-disques de diamètres x et 6-x à l'aire du grand demi-disque de diamètre 6.
Bon courage.

[Blandine]

alors j'ai calculer les aire sa donne sa :
AM = x² * pi / 2
MB = (36-x²) pi /2
AB = 18 pi
Total = AM +MB -AB
= O

Est se que c'est normal ?
Puis je n'arrive pas a retrouver l'expression qu'il me demande si vous pourriez m'aider au plus vite svp

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Petit à petit vous m'amenez à faire votre exercice à votre place et ne n'est pas mon rôle !
Je vous ai déjà aidé lors du message précédent.
Relisez-le et essayez de répondre à la question par vous-même.
Bon courage.

[Blandine]

Non c'est juste que j'essaye et je ressaye et rien n'y fait sa fait super longtemps que j'y suis decu et je ne comprend toujours pas , je voudrais que vous m'aidez a comment procéder sans forcément me faire lexo svp

[sos-math(22)]

Bon, d'accord pour cette fois.

L'aire d'un demi-disque de diamètre D est égale à : \(\frac{1}{2}\pi\times(\frac{D}{2})^2\).

On obtient donc :

\(A(x)=\frac{1}{2}\pi\times(\frac{6}{2})^2-\frac{1}{2}\pi\times(\frac{x}{2})^2-\frac{1}{2}\pi\times(\frac{6-x}{2})^2=\frac{1}{2}\pi\times(\frac{36-x^2-(36+x^2-12x)}{4})\)

\(=\frac{1}{2}\pi\times(\frac{-2x^2+12x}{4})=\frac{1}{4}\pi\times(6x-x^2)\)

Bonne continuation.

[Blandine]

A ok merci beaucoup , je n'y arrivais pas car ma formule était fausse j'avais oublié de /2 pi !!
Merci encore