dm sur vecteurs

[antoine]

bonjour . j'ai un dm de maths sur les vecteurs mais je n'y arrive pas .
voila le sujet :
ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit . A' est le milieu du segment [BC], B' celui de [CA] et C' celui de [AB]
.(On ne demande pa de figure)

A) caractherisation vectorielle de l'orthocentre

on considere le point H defini par : vecteur OH = vecteurs OA + vecteur OB + vecteurs OC. > relation 1
1) Justifier que vecteurs OB + vecteurs OC = vecteur 2OA'
en deduire ( a l'aide de la relation 1 ) que vecteurs AH = vecteurs 2OA'
2) demontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires
3) de la meme maniere demontrer que le droite (BH) et perpendiculaire a la droite (AC)
4) que represente le point H pour le triangle ABC ( justifier )

B) une droite suprenante

G designe le centre de gravité du triangle ABC
1) en partant de l'egalité vecteur GA = vecteur -2GA' demontrer que vecteur 3OG = vecteur OA + vecteur 2OA'
2) montrer que vecteur 3OG = vecteur OH
3) en deduire l'alignement de O, G, H lorsque le triangle ABC et quelconque
4) que peut dire des points O,G et H dans le cas où ABC est un triangle equilateral ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Le but de ce forum est bien d'aider les élèves, non de faire les exercices à leur place... Il faut nous dire ce que tu as fait, les questions auxquelles tu as répondues, les essais...

Pour commencer je vais te donner un petit coup de pouce. Pour la première question, il faut utiliser la relation de chasles en écrivant les vecteurs \(\vec{OB}\) et \(\vec{OC}\) sous forme d'une somme de deux vecteurs en faisant intervenir le point A'. Pour conclure, traduis l'information A' milieu de [BC] par une relation vectorielle.

Bonne continuation.

[antoine]

bonjour

voila ce que je vous propose : vecteur OA'+vecteur A'B+ vecteur OA'+vecteur A'C = 2 vecteur OA'
apres je sais pas pouvez vous me donner une piste
merci d' avance

[antoine]

bonsoir

je n'ai aucune nouvelle de mon post de ce matin !
pourquoi n'a-t-il pas été publié et pourquoi aucune réponse ?
merci de me répondre

antoine

[SoS-Math(7)]

Bonjour Antoine,

Il faut parfois attendre un peu avant d'avoir une réponse, notre travail n'est pas de répondre aux questions de ce forum, nous sommes avant tout enseignants avec des cours à assurer, à préparer, des copies à corriger...

Petite erreur de ta part, ici ton égalité n'est pas démontrée donc tu ne eux pas l'écrire...
On a donc \(\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OA^{,}}+\vec{A^{,}B}+\vec{OA^{,}}+\vec{A^{,}C}=2\vec{OA^{,}}+\vec{A^{,}B}+\vec{A^{,}C}\) Ensuite, il ne te reste plus qu'à utiliser l'information "A' milieu de [BC]" pour conclure.

Bonne continuation.

[antoine]

bonjour

veuillez excuser mon impatience d' hier mais je pensais que il y avait un probleme au niveau du site.
j' ai resolu la 1ere relation mais la seconde partie de la question 1 me pose probleme.
comment puis-je déduire la relation je ' arrive pas a situer le point H
pour la question 2 comment démontrer que les droites sont perpendiculaires.

merci de votre aide
a bientot
antoine

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

La deuxième relation se met en place de la même façon, \(\vec{AH}=\vec{AO}+\vec{OH}\) utilise ensuite la définition de \(\vec{OH}\)et la première relation pour conclure.
Pour démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC), il faut reprendre la définition de (OA') médiatrice de [BC] ; ensuite les propriétés de base de géométrie doivent te permettre de conclure.

Bonne continuation.

[antoine]

bonjour

Pour aller plus vite, je note V les vecteurs

pour la question 1:
V AH =V AO +V OH
=V AO+V OA+V OB+VOC
= V OB+V OC
= 2VOA' car V OB+V OC = 2V OA'
pour la question 2 :
A' est le milieu du segment BC
La mediatrice de BC est la droite passant par (A'O)
Proprieté : La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment perpendiculairement à ce segment
donc (AH) et (BC) sont perpendiculaires

suis-je sur la bonne voie ?
merci
Antoine

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Oui Antoine, tu es sur la bonne voie !

\(\vec{AH}=2 \vec{OA^{,}}\) donc ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites (AH) et (OA') sont parallèles...

Bonne continuation.

[antoine]

bonjour

et pour la question 2?
vous ne m' avez pas repondu si mes droites sont perpendiculaires ?
ma demonstration est elle juste ?

a Bientot
merci

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Ton début de démonstration est juste mais la conclusion est trop rapide... Ce sont les droites (OA') et (BC) qui sont parallèles. J'ai glissé une aide dans le message précédent, relis le !

Bon courage.

[antoine]

Bonjour

je ne comprend pas : les 2 droites sont perpendiculaires sur mon dessin

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Reprenons calmement, tu as dit :

A' est le milieu du segment BC
La mediatrice de BC est la droite (A'O)
Proprieté : La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment perpendiculairement à ce segment
donc (AH) et (BC) sont perpendiculaires Ici ta conclusion est fausse, ce sont les droites (A'O) et (BC) qui sont perpendiculaires.

Il faut ensuite poursuivre afin de pouvoir conclure au fait que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Aide :

\(\vec{AH}=2 \vec{OA^{,}}\) donc ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites (AH) et (OA') sont parallèles...

Bon courage !

[antoine]

bonjour

voici ma conclusion : comme (AH) et (OA') son paralleles et que(A'O) et (BC) sont perpendiculaires alors (AH) et (BC) sont perpendiculaires

pour la question 3
B' est le milieu de [AC]
la mediatrice de [AC]est le droite BO'
BO' est perpendiculaire a (AC)
et apres je suis perdu

merci de m' aider
Antoine

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Pour la question 3), c'est exactement la même démonstration mais on va faire intervenir le point B' pour avoir \(\vec{BH}=2 \vec{OB^{,}}\)

Bonne recherche.