DM sur les fonctions exponentielle et logarithme

[Gilles]

Bonjour,
J'ai un devoir maison que j'ai commencé mais où je bloque.
Voici l'énoncé :

Partie A

Soit la fonction définie sur R par : f(x) = ln (a exp(x) + b exp (-x)) où a et b sont deux nombres réels constants strictement positifs.
La courbe Cf passe par A (0; ln 5) où elle admet la droite (AB) comme tangente avec B (\(\frac{-5ln5}{3}\) ;0)

1) Justifier que f est définie et dérivable sur R et déterminer f'(x) en fonction de a et b
2) En déduire les valeurs de a et de b en justifiant précisément.

Partie B

Soit la fonction g(x) = ln (4 exp(x) + exp (-x) définie sur R
1) Prouver que pour tout x appartenant à R, g(x) = x + ln (4+exp(-2x)) et g(x) = x + ln (1+4exp(2x))
2) Déterminer la limite de g en +oo
Prouver que Cg damet une asymptote oblique d d'équation y = x + ln 4
Etudier la position relative de Cg et de d.
3) Déterminer la limite de g en - oo et une asymptote d' à Cg en -oo
4) Etudier les variations de g.
5) Préciser les valeurs exactes des coordonnées du point correspondant eu minimum de g.
6) Résoudre algébriquement l'inéquation : (E) : g(x) \(\leq\) ln 17-ln2
Vérifier la cohérence du résultat avec le graphique. Expliquer alors et tracer l'ensemble des solutions sur le graphique.

La partie A ne m'a pas réellement posé de problème.
Voici ce que je propose :
1) f est la composé de la fonction exponentielle dérivable sur R et de la fonction logarithme népérien dérivable sur R*+. Par conséquent f est dérivable et définie sur R.
donc pour tout x appartenant à R, f'(x) = \(\frac{a exp(x) - b exp(-x)}{a exp (x) + b exp (-x)}\)
2) f'(0) = \(\frac{ln5}{5ln 5/3}\)
= 3/5
On peut donc déterminer a et b grâce au système :

{f(0) = ln5 {a+b =5 {a+b = 5 {a=5-b
{f'(0) = 3/5 <=> {(a-b)/(a+b) = 3/5 <=> {-2a = -8b <=> {b= 1
On trouve alors a = 4 et b = 1 ce qui semble cohérent avec l'enoncé de la partie B

J'aimerais savoir si ma justification est correcte pour la première question de la partie A concernant la dérivabilité si elle est définie sur R et si vous pouviez me donner un coup de pouce pour la première question de la partie B.
Merci d'avance.
Gilles.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Gilles,

f est la composé de la fonction exponentielle dérivable sur R et de la fonction logarithme népérien dérivable sur R*+

Ce n'est pas tout à fait juste f(x) n'est pas égal à ln(exp(x))!!
Dans votre justification vous devez expliquer pourquoi la fonction x--->a exp(x) + b exp (-x) est définie et dérivable sur R puis pourquoi elle prend bien ses valeurs sur R+*.
Pour la partie B :
\(4 e^x + e^{-x} = e^x(4+\frac{e^{-x}}{e^x})=e^x(4+{e^{-2x})\)
donc
\(ln(4 e^x + e^{-x}) = ln(e^x(4+{e^{-2x}))\)
A vous de continuer ...
Bon courage

[Gilles]

Merci pour vos indications.
Pour la justification de la dérivabilité, je propose :

f est la composée de la fonction x -> aexp(x) +bexp(-x) dérivable sur R car a et b sont des nombres réels strictement positifs et quelque soit x appartenant à R, la fonction exponentielle est toujours positive, donc a exp(x) + b exp(-x) est positif, et de la fonction logarithme népérien dérivable sur R*+. Donc f est dérivable sur R.
Est-ce correctement justifié?

Pour la partie B je pense avoir compris. Voici ce que je propose : pout tout x appartenant à R, on a :
4 exp(x) + exp(-x) = exp (x) (4 + exp(-x)/ exp(x)) = exp (x) (4+ exp (-2x))
donc ln (4 exp(x) + exp(-x)) = ln (exp (x) (4+ (exp (-2x)) = x + ln (4+exp(-2x))

et d'autre part : 4 exp(x) + exp(-x) = exp(-x) (1+ 4exp(x)/exp(-x)) = exp(-x) (1+4 exp(2x))
donc ln(4exp(x)+ exp(-x)) = ln (exp(-x)(1+4exp(2x)) = -x + ln(1+4exp(2x))
Est-ce correct?

Merci beaucoup
Gilles

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Vos propositions sont justes.

Bonne continuation.

[Gilles]

Merci à vous pour vos aides.

Je rencontre un nouveau petit souci lorsqu'il s'agit d'étudier les variations. Je vous met les réponses que je propose pour les questions précédents :
2) lim g(x) (lorsque x tend vers +oo) = + oo car lim exp(-2x) (en +oo) = 0
Pour l'asymptote, on calcule la limite de g(x) - (x+ln4) en +oo et on trouve 0 en utitlisant g(x) = x+ln(4+exp(-2x))
Pour la position relative de Cg et d, on suppose que d est au dessus de Cg, on a donc : x+ln4> x + ln(4+exp(-2x)) soit ln4>ln (4+exp(-2x))
ce qui est faux car la fonction exponentielle est toujours positive. Donc Cg est toujours au dessus de d.

3) lim g(x) (lorsque x tend vers -oo) = +oo car lim (en -oo) exp(2x) = 0
De même on déduit l'asymptote d' d'équation y=(-x+ln1)

4) Pour les variations je bloque un peu. On peut utiliser le fait que f(x) = g(x) donc f'(x) = g'(x). Donc g'(x) = \(\frac{4exp(x) - exp(-x)}{4exp(x) + exp(-x)}\)
On peut ajouter que g'(x) est du signe du numérateur car la fonction exponentielle est positive.
On a donc : 4 exp(x) - exp(-x)>0 soit 4exp(x)> exp(-x)
Mais après je n'arrive pas à déterminer les valeurs de x pour lesquelles g'(x) est positive et négative.

Merci d'avance pour me donner un nouveau petit coup de pouce.
Gilles

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
votre limite est correcte mais pour l'asymptote, je vous rappelle que ln(1) = 0
Pour les variations, le début est correct.

4 exp(x) - exp(-x)>0 soit 4exp(x)> exp(-x)

Vous pouvez diviser les deux membres de l'inégalité par exp(x) qui est strictement positif
A vous de continuer...

[Gilles]

Bonsoir,
Merci bien mais j'ai utilisé une autre méthode : j'ai posé X= exp(x)
Je pense que ça marche car au final je trouve g'(x)>0 <=> x>ln (1/2)
Ensuite pour la question 5) on me dit de préciser "les valeurs" des coordonnées du point au minimum de g.
Je trouve à l'aide du tableau de variations g(ln(1/2))= ln 4 donc le point a pour coordonnées (ln(1/2);ln 4)
Cependant j'aimerais savoir s'il faut que je le prouve et si oui par quel moyen.

Concernant la question 6, je patauge complétement et je ne vois pas du tout ce que l'on veut en déduire graphiquement.

Bonne soirée et merci d'avance.
Gilles

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Ce que vous proposez n'est pas très différent. Pour le minimum, il n'y a rien à démontrer, on sait que c'est la valeur de x pour laquelle g'(x)=0 ce qui donne bien x=ln(1/2) et g(ln(1/2))=ln4.

Pour la question 6), le but est de résoudre algébriquement cette inéquation puis de vérifier si vous avez compris le lien avec la lecture graphique.
Pour résoudre cette inéquation, pensez "à multiplier les deux membres par exp(x)"...

Bonne continuation.

[Gilles]

Bonsoir,
Merci pour votre aide. On a trouvé alors que x appartient à [ln(1/8); ln 2]. Cependant je ne comprend pas vraiment ce qu'on attend de moi avec le fait de vérifier la cohérence avec le graphique.
De même pour expliquer et tracer l'ensemble des solutions cela revient à définir la portion de courbe corespondante ce qui n'est pas tellement difficile. Mais qu'attend t-on par expliquer?

Merci d'avance pour ce dernier petit coup de pouce et bonnes fêtes de noël à vous.
Gilles

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Au niveau de la représentation graphique, on cherche à savoir si vous savez lire les solutions d'une inéquation sur un graphique : repérer la partie de la courbe puis repérer sur l'axe des abscisses les solutions de cette inéquation. Effectivement, ici rien de compliqué.

Bonne continuation.