Ex barycentres.

[Michel]

Bonsoir, voila j'ai un soucis pour finir mon exercice, pourriez vous m'aider svp? Voici l'énoncé:
Soit PQR un triangle. Nous considerons les points P', Q' et R' qui sont définis par QP'=2/3QR ( ce sont des vecteurs et les deux autres aussi) , RQ'=1/5RP et PR'=2/3PQ.
1°) Faire une figure
2°)Il faut déterminer des reéls m, n et p tels que simultanément:
P' bary de (Q,n) et (R,p)
Q' bary de (P,m) et (R,p)
R' bary de (P,m) et (Q,n).
3°) Démontrons que (PP'),(QQ') et (RR') sont concourantes en G. Préciser le position de G sur chacune de ses droites.

Voila pour la 2°) je trouve m=0.5, n=1 et p=2, est-ce juste?
Mon problème est que je bloque sur la question 3°)
Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
les valeurs trouvées me semblent correctes.
La question précédente invite à trouver un point intéressant qui serait à la fois sur les trois droites :
Si tu notais \(G=bar\{(P,m),(Q,n),(R,p)\}\) ( tu peux mettre tes valeurs trouvées mais je préfère travailler avec les lettres, si jamais il y avait une erreur de calcul.)
Montre que le point G est sur les trois droites en utilisant le barycentre partiel.

[Michel]

Je ne vois pas du tout ce que peux être un barycentre partiel. Merci pour votre réponse.

[Michel]

Je ne vois pas ce que peut être un barycentre partiel. Merci pour votre aide.

[sos-math(21)]

Tu dois avoir vu une propriété de ton cours, ce qu'on appelle aussi associativité du barycentre :
Je te donne un exemple pour ton exercice :
on a noté \(G=bar\{(P,m),(Q,n),(R,p)\}\), ton cours te dit alors que comme \(R^{,}=bar\{(P,m),(Q,n)\}\), alors G est le barycentre du nouveau système :
\(G=bar\{(R^{,},m+n),(R,p)\}\), on a remplacé une partie du système par son barycentre mais affecté de la somme des coefficients (d'où le nom de barycentre partiel.)
Ainsi \(G=bar\{(R^{,},m+n),(R,p)\}\), ce qui prouve aussi que G appartient à la droite (RR') (un barycentre de deux points est toujours sur la droite formée par ces deux points).
On peut faire la même démarche pour les deux autres droites et finalement, G sera sur ces trois droites donc elles seront bien concourantes...

[Michel]

Ah oui donc G bary de (P',3)(P,0.5)
G--------- (Q',2.5)(Q,1)
G----------(R',1.5)(R,2), est ce bien cela?

[sos-math(21)]

avec les valeurs trouvées,
cela doit faire ce que tu dis.
A toi de rédiger.
Bon courage

[Michel]

En montrant ces trois barycentre, cela suffit a montrer que ces droites sont concourantes? Pour montrer la position du point G sur chacunes des droites, il suffit d'utiliser les barycentres que j'ai trouvé? Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Montrer que trois droites sont concourantes, c'est montrer qu'elles passent toutes par un même point. Le point G défini a la propriété d'appartenir aux trois droites en même temps, donc cela prouve bien qu'il est à l'intersection de ces trois droites, ce qui signifie bien qu'elles sont concourantes.
Par ailleurs, comme tu l'as dit, le fait de définir l'intersection de ces droites comme un barycentre permet de le positionner sur chacune des droites à l'aide du barycentre partiel obtenu dans le message précédent.
Est-ce plus clair ?

[Michel]

Donc (vecteurs) GP'=1/6GP
GQ'=1/2.5GQ
GR'=2/1.5GR ? Merci pour ton aide.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Même si le fil des échanges se poursuit, il est demandé d'être poli... Un bonsoir, un merci, etc sont les bienvenues !

Ici, tu as commis des erreurs.
G bary de (P',3)(P,0.5) signifie que \(0,5 \vec{GP}+ 3\vec{GP^{,}}=\vec{0}\) ce qui permet d'obtenir \(\vec{PG}=\frac{ 3}{3,5}\vec{PP^{,}}=\frac{ 6}{7}\vec{PP^{,}}\) ou encore \(\vec{GP^{,}}=\frac{-1}{6}\vec{GP}\). Mais cette dernière égalité ne permet pas de "localiser" le point G sur le segment [PP']...

Je te laisse corriger les autres égalités.

Bonne continuation.

[Michel]

Bonsoir, je ne comprend pas comment on arrive à la première égalité . Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
La première égalité vectorielle est la traduction directe de G=bar(P,0.5)(P',3) : \(0,5 \vec{GP}+ 3\vec{GP^{,}}=\vec{0}\)
Ensuite pour le transformer en relation exploitable, c'est-à-dire qui permettra de placer le point G sur (PP'), il faut une relation du type
\(\vec{PG}=\alpha\vec{PP^{,}}\) ou \(\vec{P^{,}G}=\beta\vec{P^{,}P}\)
On part donc de la relation de départ et on intercale avec chasles :
\(0,5 \vec{GP}+ 3\vec{GP}+3\vec{PP^{,}}=\vec{0}\) soit \(3,5\vec{GP}=3\vec{P^{,}P}\) soit en divisant par 3,5 et en "inversant" l'ordre pour pouvoir partir de P, on a \(\vec{PG}=\frac{3}{3,5}\vec{PP^{,}}=\frac{6}{7}\vec{PP^{,}}\)
Voilà avec un peu plus de détails ce qu'avait déjà évoqué (de manière claire pourtant) sos-math(7) .
Est-ce plus clair ?

[Michel]

Bonsoir, oui c'est bien compris maintenant. Merci beaucoup.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Michel,
SoSMath.