Barycentre

[Marjorie]

Bonjour !
J'ai cet exo noté a faire pour Lundi , et j'aimerais que vous me corrigiez et m'aidiez a faire ce que je ne suis pas arrivé a faire ^^ :

1) [AB] est un segment de longueur 7 cm.
Placez les points suivants :
a) Le barycentre I des points pondérés (A;1) et (B;6)
AI = 6/(1+6) = (6/7)AB
b) Le barycentre J des points pondérés (A;3) et (B;4)
AJ = 4/(3+4) = (4/7)AB
c) Le barycentre K des points pondérés (A;−1) et (B;8)
AK = 8/(-1+8) = (8/7)AB
d) Le barycentre L des points pondérés (A; -3/7) et (B; 10/7)
Je Multiplie par 7...
AL = 10/(10-3) = (10/7)AB

2) ABC est un triangle.
a) Placer C’, barycentre des points (A;1),(B;4).
b) Placer A’, barycentre des points (B;2),(C;3).
c) Placer B’, barycentre des points (A;1),(C;6).
d) Démontrer que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes. (indication :
on pourra utiliser le barycentre des points pondérés (A;1),(B;4),(C;6)

Pour a) , b) et c) , je fais comme dans le 1) , mais je ne sais pas tellement comment les placer ni vraiment quel vecteur mettre ( ex : AI = kAB)

Je n'y arrive pas du tout pour le d)...Faut il " unifié " (A;1) , (B;4) ? Et ensuite , comment faire ?

3) A,B,C sont 3 points distincts .
a) Construire le barycentre G des points pondérés (A;3),(B;−1);C(2)(expliquer
brièvement)
b) Prouver que pour tout point M du plan on a : 3MA − MB + 2MC = 4MG

J'ai construis le barycentre gràca a l'associativité ( A' ; 2 ) ( B ; 2 ) En revanche , je ne suis pas du tout sûr si j'ai bien tracé graphiquement :/
Je n'ai pas réussi le b)

4) Figure ci dessous
http://img4.hostingpics.net/pics/775435maathhjpg.jpg

Les droites (CM) et (BM) se coupent en G et la droite (AG) coupe [BC] en I.
a) Déterminer des coefficients tels que M soit le barycentre des points A et B
b) Déterminer des coefficients tels que N soit le barycentre des points A et C
c) Déterminer des coefficients tels que G soit le barycentre des points A,B,C
d) Démontrer que I est le milieu de [BC]
e) Prouver que G est le milieu de [AI]

J'ai vraiment du mal pour cet exo...

Voila !! Merci de l'aide que vous m'apporterez :)

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Le 1) est correct
Pour le 2) je ne comprends pas votre demande :

Pour a) , b) et c) , je fais comme dans le 1) , mais je ne sais pas tellement comment les placer ni vraiment quel vecteur mettre ( ex : AI = kAB)

Dans le 1) vous avez placé les points ...

Pour le d) : vous allez montrer que G , le barycentre des points pondérés (A;1),(B;4),(C;6) appartient aux 3 droites
Utilisez le théorème du barycentre partiel.
C’, barycentre des points (A;1),(B;4) alors G est le barycentre de (C' ; 1+4) et (C, 6) donc G appartient à la droite CC'
De même montrez que G appartient à la droite AA' puis à la droite BB'

Pour le 3) G barycentre des points pondérés (A;3),(B;−1);C(2 donc \(3\vec{GA}-\vec{GB}+2\vec{GC} = \vec{0}\)
Puis vous utilisez la relation de Chasles : \(3(\vec{GM}+\vec{MA})-(\vec{GM}+\vec{MB})+2 ..... = \vec{0}\)
A vous de continuer

Pour le 4) nous n'avons pas accès à la figure

Bon courage

[Marjorie]

C'est vrai que je me suis mal exprimé...
Dans le 2 ) , il y a seuleument le d) que je ne sais pas faire...

Concernant la figure , je pense qu'il faut copier/coller dans la barre d'adresse http...C'est le seul moyen pour pouvoir voir la figure , de plus c'est l'exercice dans lequel j'ai le plus de mal....

Je vais suivre vos conseils et travaillé toute ma soiré , je vous ferez part de mes résultats demain dans les plus bref délai !!

[sos-math(21)]

j'ai vu la figure, M est situé au tiers de AB, donc on a \(2\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\), donc M est barycentre de ...
Même chose pour N
Voilà pour commencer

[Marjorie]

Bonjour !

Alors tout d'abord , petite vérification ^^
Pour le II) , le d)
J'ai trouvé que AA' = 10/11 ; BB' = 7/11 ; CC' = 5/11
Si je les additionnent , j'obtient 2 , ya-t-il un rapport ?? C'est sa qui prouve que les droites sont concourantes ??


Pour le III) a) , Commennt le construire ?? on prend des mesures aléatoires ?

Pour le IV) Sa m'a l'air un peu plus clair grace a vos explications , mais pour le a) , est ce que (A;2 ) ( B;1) ?? Je l'ai déterminé de tet , il ne faut pas utilisez de formule ??

Merci encore de vos réponses :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je t'avais envoyé un message sur le 4 mais il n'a pas du passer :
Si tu notes G le barycentre de (A;1),(B;4),(C;6), alors avec les barycentres partiels sachant que C=bar{(A;1),(B;4)}, alors G est le barycentre de (C',5)(C,6) donc G est sur la droite (CC') (déjà expliqué par sos-math(2)).
De même avec (BB') et (AA'). Finalement, G est sur ces trois droites en même temps, donc elles sont concourantes.
Pour le placement des points A',B',C', je ne comprends pas trop des valeurs.
Ensuite pour le II)a, il faut placer le barycentre G' de (A,3)(B,-1) (utilise la relation \(\vec{AG}=\frac{-\vec{AB}}{2}\)), puis G=bar (G',2)(C,2) (c'est donc le milieu de ce segment)
Pour le 4 la relation que je t'ai écrite dans le message précédent se traduit directement par M=bar(A,2)(B,1)
Même chose pour N.
Reprends cela

[Marjorie]

Je suis perdu....les valeurs que j'ai mise sont toutes fausse ?!

Notre professeur , suite au blocus , nous a donné le chapitre sur le barycentre en ligne , sans mainte explication , en gros on devait se débrouiller seul , il y a peut etre des choses que je n'ai pas trés bien comprise dans la leçon....Le mieux serait que j'ai un exemple concret , du même type que les exercies que je dois faire....J'y suis dessus depuis 3 jours , j'en ai mal a la téte ; c'ests pour cela que je fais appelle a vous...

Du coup je suis perdu entre toutes ces formules , les valeurs que j'ai mise..... Je suis vraiment désolé de vous embéter ainsi...

[Marjorie]

Pour le 3) la suite c'est....+2(GM+MC) = O ?

[sos-math(21)]

Je n'ai pas dit que tout était faux,
Ne panique pas, on va y arriver.
Pour le 3 de l'égalité de vectorielle, on reprend ce qu'a dit sos-math(2), tu sais que G=(A;3),(B;−1);C(2) donc cela se traduit par la relation vectorielle :
\(3\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\) es-tu d'accord avec cela ? (c'est la base des barycentres).
Ensuite pour prouver la relation qu'on te demande, on part de la partie de gauche et on intercale G avec Chasles :
\(3\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC}=3(\vec{MG}+\vec{GA})-(\vec{MG}+\vec{GB})+(\vec{MG}+\vec{GC})=3\vec{MG}-\vec{MG}+\vec{MG}+\underbrace{3\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC}}_{=\vec{0}}=3\vec{MG}\) et c'est terminé.
Pour le placement des points pour le 2a) :
C’, barycentre des points (A;1),(B;4). donc \(\vec{C^{,}A}+4\vec{C^{,}B}=\vec{0}\) donc en intercalant le point A dans le deuxième vecteur
\(\vec{C^{,}A}+4\vec{C^{,}A}+\vec{AB}=\vec{0}\) donc \(5\vec{C^{,}A}+\vec{AB}=\vec{0}\), soit en passant de l'autre côté et en divisant par 5 :
\(\vec{AC^{,}}=\frac{1}{5}\vec{AB}\) donc le point C' est situé au 1/5 du segment [AB], en partant de A.
Tu refais pareil pour les autres.
Ensuite pour la preuve que les droites sont concourantes, reprends mon dernier message.

[Marjorie]

C'est beaucoup plus clair !!! Je crois avoir compris !!

Alors pour II) b) 2A'B+3A'C = O DONC 2A'B + 3A'B + BC = O donc 5A'B+BC = 0 Ce qui fait BA'= 1/5 AB ????
c) meme chose et je trouve 1/7 AB , C'est bon ??

[sos-math(21)]

tu a du faire des erreurs de calcul :
A’, barycentre des points (B;2),(C;3).
\(2\vec{A^{,}B}+3\vec{A^{,}C}=\vec{0}\) donc en intercalant :
\(2\vec{A^{,}B}+3\vec{A^{,}B}+\underline{3}\vec{BC}=\vec{0}\) donc \(\vec{BA^{,}}=\frac{3}{5}\vec{BC}\)
pour l'autre tu dois avoir
(A;1),(C;6).\(\vec{AB^{,}}=\frac{6}{7}\vec{AC}\)

[Marjorie]

Ah !! Donc pour le 1er c"est pas AC'=1/5 mais AC'= 4/5 AB du coup ?

[sos-math(21)]

Oui, tu as raison, j'ai du faire une erreur moi aussi : j'ai oublié d'appliquer le facteur 4 quand j'ai utilisé chasles.
Comme quoi, vous devez toujours refaire les calculs.
Vérifie donc bien tes calculs, je te donne les démarches.

[Marjorie]

Oui c'est vrai...Merci

Dans le III) a) Il faut que j'utilise l'associativité , mais du coup comment le tracer graphiquement ?
et pour le 4) c) d) et e) , il me faudrait des pistes....

C'est les derniéres questions que je poserais :)

[sos-math(21)]

Pour le III)a, il faut placer le barycentre G' de (A,3)(B,-1) (utilise la relation \vec{AG}=\frac{-\vec{AB}}{2} : c'est la même démarche que les B',C' et A'), puis G=bar (G',2)(C,2) (c'est donc le milieu de ce segment)
Pour le 4 la relation que je t'ai écrite dans le message précédent se traduit directement par M=bar(A,2)(B,1)
Même chose pour N.
Pour la relation barycentrique avec G
G est sur la droite (MC) donc G est le barycentre de \((M,\alpha),(C,\beta)\), Or M barycentre de (A,2)(B,1) donc
\(G=bar\{(A,2),(B,1),(C,\beta)\}\)
De même G est sur la droite (NB) donc G est le barycentre de \((N,\gamma),(B,\delta)\), Or N barycentre de (A,2)(C,1) donc
\(G=bar\{(A,2),(B,\delta),(C,1)\}\), il vient alors \(\alpha=1,\delta=1\)
Donc \(G=bar\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\)
Pour la suite, je te laisse un peu chercher