Barycentre

[Jeremy]

Bonjour, nous avons un DM de maths a faire mais certaines notations du livre me paraissent étrange et donc je comprends pas.

ABC est un triangle, I barycentre de (B,1) (C,-3) J (A,2) (C,-3) et K (A,2) (B,1)

Construisez I J K et conjecturer sur les droites AI BJ CK

-> On conjecture qu'elles sont parallèles

2) A tout point M du plan on associe le vecteur v(M)= 2MA + MB - 3MC

Verifier que v(M) = 2CA+CB

j'ai fais intervenir la lettre C et je trouve bien sa

2b) Déduisez en qu'il est indépendant de M

-> Je n'ai jamais eu de question comme sa en cours, je dirai qu'il est indépendant de M puisque v(M)=2CA+CB et M n'apparait pas

3a) Expliquez pourquoi :

v(I) = 2IA v(J)=JB et v(K) = -3KC

Je ne comprends pas du tout là

3b) Déduisez en que les droites sont parallèles

Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Jérémy,
Vous avez bien répondu à la question 2.b.
Pour la question 3a., vous savez que \(v(M)=2\vec{CA}+\vec{CB}\).
Donc c'est le cas pour le point I: \(v(I)=2\vec{CA}+\vec{CB}\).
Faîte intervenir le point I en utilisant la relation de Chasles et utiliser le fait que le point I est le barycentre de (B,1) et (C,-3).
A bientôt.

[jeremy]

Mais je vois pas pourquoi c'est pareil pour I?
C'est un point fixe vu qu'il est barycentre de deux point? Quelque chose dois m'échapper^^

Mais sinon :

v(I)=2CA+CB

2CI + 2IA +CI+IB
-3IC+IB+2IA

D'après la propriété de réduction on a
-3IC+IB+2IA = -2II +2IA
Or II = vecteur nul d'où
v(I)=2IA ?

Encore merci

[jeremy]

J'ai fais pareil pour les deux autres et c'est juste,

pour la 3)

je ferai comme sa :

On sait que v(I)=2CA+CB
v(J)=2CA+CB
et v(K)=2CA+CB

d'où 2IA=JB=-3KC

donc les vecteurs sont colinéaires donc les trois droites sont parallèles

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,
Pour tout point M du plan, on a \(v(M)=2\vec{CA}+\vec{CB}\).
C'est en particulier vrai pour I, J ou K.
A bientôt.

[jeremy]

Ah oui^^, le reste est juste ?

si oui j'ai une autre question

ABC est un triangle I J K sont les points définis par

AI=-2AB
AJ=4/7 AC
CG = 1/5 CI

1) Exprimer I comme un barycentre de A et B et G bary de I et C

je trouve I bary de (A 3 ) (B -2)
G bary de (C 4/5) (I 1/5)

2)Prouver que G est bary de A 3 B -2 C 4

Je ne sais pas quel propriété j'ai utilisé mais voilà ma démarche :

I bary de A 3 et B -2
et G bary de C 4/5 et I 1/5

d'où G bary de C 4/5 A 3/5 et B -2/5

et d'après la propriété de l'homogénéité
G bary de A 3 B -2 C 4

2b) déduisez en que J est a l'intersection des droites BG et AC

Là je vois pas du tout

Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Jérémy,

Pour la question 2a, il faudrait peut-être préciser.
Vous savez que \(4\vec{GC}+\vec{GI}=\vec{0}\) et que \(3\vec{IA}-2\vec{IB}=\vec{0}\).
En introduisant le point G dans cette deuxième relation par la relation de Chasles, on arrive à \(\vec{GI}=\ldots\).

Pour la question 2b, vous savez que J appartient à la droite (AC) puisque \(\vec{AJ}=\frac{4}{7}\vec{AC}\).
Il reste à démontrer que J appartient à la droite (BC).
On sait que \(3\vec{GA}-\2\vec{GB}+4\vec{GC}=\vec{0}\).
Je vous suggère d'introduire le point A dans \(\vec{GC}\) par la relation de Chasles; vous savez aussi que \(7\vec{AJ}=4AC\).
A bientôt.

[Jeremy]

Bonjour et merci

Le premier exo est donc juste.

3IA-2IB=0
3IG+3GA-2IG-2GB=0
IG=-3GA+2GB
GI=3GA-2GB

4GC+GI=0
GI=-4GC

d'où

-4GC=3GA-2GB
0=3GA-2GB+4GC

donc G bary de A 3 B -2 C 4

2b)

3GA-2GB+4GC=0
3GA-2GB+4GA+4AC=0
3GA-2GB+4GA+7AJ=0
7GA-2GB+7AJ=0
7AJ=7GA-2GB

Là je suis bloquer :s
J'imagine qui faut arriver a quelque chose du genre JA=kJC mais bon

[SoS-Math(1)]

Bonjour Jérémy,
Regarder l'avant-dernière ligne de vos calculs:
\(7\vec{GA}-2\vec{GB}+7\vec{AJ}=\vec{0}\).
On peut aussi l'écrire: \(7\vec{GA}+7\vec{AJ}-2\vec{GB}=\vec{0}\).
Que pensez-vous de \(7\vec{GA}+7\vec{AJ}\)?
A bientôt.

[Jeremy]

7GA+7AJ-2GB=0
7GJ-2GB=0
7GJ=2GB
Donc J appartient à la droite GB et aussi a la droite AC donc J est bien le point d'intersection des deux droites ?

Une dernière question ^^

ABCD est un rectangle
comment prouver que pour tout point M, MA-MB-MC+MD=-2AB?

j'ai fais intervenir plein de lettre mais j'y arrive pas^^


Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Faîtes seulement intervenir le point A par la relation de Chasles dans \(\vec{MB}\), \(\vec{MC}\) et \(\vec{MD}\).
Sauf erreur de ma part, mais je suis allé vite, on trouve \(2\vec{AB}\).
Bon courage.

[jeremy]

Personnellement j'arrive a 3MA-AB-AC+AD
et je bloque toujours là cvar a chaque fois il me reste AC,AD...

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
\(\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}+\vec{MD}=\vec{MA}-\vec{MA}-\vec{AB}-\vec{MA}-\vec{AC}+\vec{MA}+\vec{AD}=\ldots\)
Soyez vigilant, il n'y a plus de \(\vec{MA}\).
A bientôt.

[jeremy]

Ah oui je suis bête
mais bon j'ai toujours du mal

-AB-AC+AD
et là j'imagine vous avez fais intervenir A mais il me reste toujours quelque chose qui gène :s

[SoS-Math(1)]

Bonjour Jérémy,
Oui, en effet, vous devez vous entraîner et le refaire.
Après pour vous en sortir, il faut utiliser l'égalité suivante: \(\vec{CA}=-\vec{AC}\) puis ajouter \(\vec{AD}\)
A vous de finir quand même.
A bientôt.