Suites

[Marie]

Bonjour, je viens de commencer le chapitre sur les suites, et j'ai dejà un problème avec les exos.. Voici l'énnonce:

La suite (u,n ) est définie par u,0 = 0 et par la relation de récurrence: u, n+1 = (2u,n+ 3) / (u,n + 4)

1. Calculer u,1 et u,2
2. Montrer que pour tout n>0 : 0 < u,n < 1
3. On pose pour n€N : v,n = (u,n - 1) / (u,n + 3)
Montrer que (v,n) est géométrique convergente.
4. Calculer (u,n) en fonction de v,n
En déduire (u,n) convergente et déterminer sa limite.

Pour la question 1 tout va bien, je trouve u,1= 3/4 et u,2= 9/11 si je ne me suis pas trompée.
Par contre, pour la question 2 je ne sais pas comment m'y prendre.. Comment est ce que je dois démarrer?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}$.
A vous de poursuivre.
A la fin, on trouve $v_{n+1}=\frac{1}{5}v_n$.
A bientôt.

[Marie]

Merci ! J'ai réussis à trouver :)

Et pour encadrer u,n je pars de quoi? n>0 ?? :-S

[sos-math(21)]

Pour encadrer tu peux faire des encadrements successifs ou alors étudier la fonction associée $f(x)=\frac{2x+3}{x+4}$.

[Marie]

j'encadre cette fonction entre 0 et 1 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu étudies la fonction sur l'intervalle considéré et tu dois pouvoir en retirer un encadrement (le mieux serait d'avoir entre 0 et 1 pour coller à la question, ou un peu plus restreint..)
Ou alors par récurrence $\mathscr{P}_n\,:\,"0<u_n<1"$, en étudiant pour l'hérédité la différence $u_{n+1}-1=$ : c'est peut-être le plus simple à bien y réfléchir.