Nombre premier et pgcd

[patrick]

Bonjour, j'ai cet exercice et je bloque

Exercice:
Soit n un entier non nul
On considère alors les deux entiers naturels a=2n^3+5n^2+4n+1 et b=2n^2+n
1)Montrer que 2n+1 est un diviseur commun à a et b
2)Un élève affirme que le pgcd(a,b) est égal a 2n+1.Son affirmation est elle vraie ou fausse? Justifié la réponse

Merci d'avance pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
Qu'as-tu déjà fait ?
Pour montrer que 2n+1 est diviseur commun aux deux entiers, il suffit de factoriser par 2n+1 dans les deux éléments
\(2n^3+5n^2+4n+1=(2n+1)\times(\ldots)\) et \(2n^2+n=(2n+1)\times\ldots\)
Pour savoir si c'est le pgcd, il reste à vérifier que les facteurs que tu vas trouver sont bien premiers entre eux

[patrick]

Oui excusez moi j'ai oublier d'écrire que j'avais trouver que a=(2n+1)(n^2+2n+1)
b=(2n+1)*n
Mais comment prouver qu'il sont premiers entre eux??

[sos-math(21)]

C'est bien pour les factorisations !
Tu obtiens alors deux facteurs "résiduels" \(n\) et \(n^2+2n+1\). Il faut juste vérifier que ces deux facteurs sont premiers entre eux.
Par exemple si tu prends un diviseur commun d à \(n\) et \(n^2+2n+1\), alors d divise \(n\) donc aussi \(n^2\), donc comme d|n, d|\(n^2\), d|\(n^2+2n\), donc comme il divise aussi \(n^2+2n+1\), il divise aussi leur différence....

[patrick]

Donc d/n^2+2n+1-n^2+2n

donc d/1 et donc 2n+1 est un diviseur commun de a et de b

Est ce juste ?

[patrick]

donc d/1 une fois l'on fait la différence des deux

donc 2n+1 est bien un diviseur commun de a et de b

[sos-math(21)]

tu obtiens bien que d|1 donc nécessairement d=1, autrement dit \(n\) et \((n+1)^2\) sont premiers entre eux, ce qui prouve bien que 2n+1 est le pgcd des deux entiers de départ.