Suite et intégrales

[Louis]

Bonjour, voici un problème qui me pose problème... .
Ce que je recherche c'est de l'aide et non pas que l'on me fasse tout le travail, je veux comprendre!

Voici l'énoncé qui est très long:
On se propose d'étudier lim quand n tend vers + infini de somme de p=1 à n des up
avec un= intégrale de 0 à pi/2 de (xsin(nx)cos^n(x))dx
On pose à cet effet sn= somme de k=1 à n des 1/k et on admet Sn équivalent à ln n (je précise que je suis bien en terminale mais suite à des problèmes de santé j'ai suivi deux années en plus avec un professeur particulier donc certaine notion comme l'équivalence me sont connues ou l'usage du binôme de Newton au programme de terminale il me semble.).

Partie 1:

On définit fn sur ]0,1] avec fn(t)=(1-(1-*t)^n)/t) et fn(0)=n

1a Montrer que fn continue sur [0,1]

b montrer que fn(t)= somme de p allant de 1 à n de (p parmi n).(-t)^(p-1)

c On pose In= intégrale de 0 à 1 de fn(t)dt
prouver que in=somme de p=1 à n de (p parmi n).(-1)^(p-1)/p

Jusqu'à la j'ai tout réussi.

puis calculer intégrale de 0 à 1 de (1-t)^(k-1). Je trouve égal à (1^k)/k
et montrer que In=Sn. C'est la que je bloque...

2a montrer que intégrale de 0 à pi/2 de (xsin(2px))dx = (pi(-1)^(p+1))/4p

b en remarquant que sin(2px)=Im(e^(i2px) montrer que somme de p=1 à n de (p parmi n).sin(2px)=2^nsin(nx)cos^n(x)
en déduire un =(pi/2^(n+2))Sn



Partie 2:

Soit f(x)=-ln(1-x) définie sur [0,1[

1 Etudier les variations de phi(t)=(x-t)/(1-t) ( t appartient à [0,x]
et montrer que 0 inférieur à phi inférieur à x

2 Montrer que phi/(1-t)=(x-1)/(1-t)^2 + 1/(1-t)

3 Montrer que f(x)= somme de 1 à n de x^(k)/k + Rn(x) avec Rn(x)= intégrale de 0 à x de ((phi(t))^n)/(1-t)
A mon avis on procède par récurrence? mais je bloque encore une fois dans les calculs...

4 En déduire de 2 que 0 inférieur à Rn(x) inférieur à -x^(n).ln(1-x)

5 a exprimer (1-x).somme de (Sk.x^k)somme pour k de 1 à n en fonction de f(x) Rn(x), Sn et x
b En déduire lim somme de k=1 à n de Sk.x^k puis lim somme de p=1 à n des

Voila encore une fois je veux surtout comprendre, merci d'avance pour le temps que vous me consacrez.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as trouvé \(\int_{0}^{1}(1-t)^{k-1}dt=\frac{1}{k}\) pour tout k, donc si tu fais la somme de k=1 à n de ces n égalités tu as :
\(\sum_{k=1}^{n}(\int_{0}^{1}(1-t)^{k-1}dt)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=s_n\). Il faut maintenant regarder à gauche : comme ce sont des sommes finies, tu peux échanger le sigma et le signe intégral :
\(\sum_{k=0}^{n}(\int_{0}^{1}(1-t)^{k-1}dt)=\int_{0}^{1}(\sum_{k=1}^{n}(1-t)^{k-1})dt\) et la tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique de raison (1-t) : \(\sum_{k=1}^{n}(1-t)^{k-1}=\frac{1-(1-t)^n}{1-(1-t)}=f_n{t}\) !
donc \(s_n=\int_{0}^{1}(\sum_{k=1}^{n}(1-t)^{k-1})dt=\int_{0}^{1}f_n(t)dt=I_n\) et c'est terminé

[Louis]

Bonjour,
Ok merci, je n'avais pas vu la sommme des termes d'une suite géométrique.
Pour la partie 2 je n'arrive pas la question ou il faut déterminer les variations de phi?

[sos-math(21)]

tu as \(\phi(t)=\frac{x-t}{1-t}\), c'est une fonction définie dérivable sur [0,x] (x est bien compris entre 0 et 1, c'est ça ?
tu dérives selon t :
\(\phi^{,}(t)=\frac{(x-t)^{,}\times(1-t)-(x-t)\times(1-t)^{,}}{(1-t)^2}=\frac{-1\times(1-t)-(x-t)\times(-1)}{(1-t)^2}=\frac{x-1}{(1-t)^2}\), comme x est inférieur à 1, cette dérivée est négative donc \(\phi\) est décroissante sur [0,x] donc en particulier :
\(\forall\,t\in[0;x],\phi(x)\leq\phi(t)\leq\phi(0)\) soit \(0\leq\phi(t)\leq\,x\)