Exponentielle

[Nikita]

Bonjour, je n'arrive pas à faire la première et la dernière question de cet exercice, est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?

f est la fonction définie sur IR par f(x) = \(e^x\) - x -2.
1.Étudier les limites de f en +00 et en -00.
2. Dresser le tableau des variations de f.
3.a)Démontrer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions a et b et trouver un encadrement à 0,1 près de ces solutions.
b)Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

Pour la question une j'ai essayer de lever l'indétermination en factorisant mais je n'y arrive pas : f(x) =\(e^x\) (1 - \(\frac{x}{e^x}\) - \(\frac{2}{e^x}\)).
Ensuite j'ai trouvée la dérivée donc les variations de f. J'ai utilisé le théorème des valeurs intermédiaires pour la 3.a .
Mais je n'arrive pas à faire la 3.b.

Merci beaucoup.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Nikita,

1) ta méthode est correcte pour +inf !
tu sais que \(\lim_{x \to +\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty\) donc par passage à l'inverse \(\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{e^{x}}=0\).
Les autres limites sont des limites de références.

en - inf : tu n'as pas de forme indéterminée !

Pour le 3b) Regarde ton tableau de variations et utilise les deux valeurs trouvées au 3a).

SoSMath.

[Nikita]

Bonsoir,
Est-ce que vous pourriez m'expliquer comment vous passez de lim \(\frac{e^x}{x}\) =+00 à lim \(\frac{x}{e^x}\) =0 en +00 ? Je ne comprends pas quand vous dites ''par inverse''.

Merci.

[SoS-Math(9)]

Nikita,

Dans ton cours tu dois avoir des règles de calcul sur les limites .... et dans ces règles il y en a une sur le passage à l'inverse.
Par exemple :Si \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\) alors \(\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{f(x)}=0\).

SoSMath.