PGCD, Congruence

[Rémi]

énoncé donné avec peut être la fautes :

Soit a, b et c trois entiers naturels non nuls
si a et b sont premiers entre eux, alors PGCD(a; bc) = PGCD ( a; c )

(On pourra poser Delta = PGCD ( a;b) , PGCD (a; bc) = Delta'' )

avec ma correction :

Pour la roc je suppose qu'il y a une erreur... delta=PGCD(a;c) et non delta=PGCD(a;b)

Début de recherche :
Comme a et b sont premier entre eux alors delta=1 et donc Delta divise delta'
Mais je n'arrive pas la réciproque... Je pensais faire par combinaison linéaire mais je bloques.

[sos-math(22)]

Bonjour Rémi,

Tu as certainement vu en cours le théorème de Gauss :

Si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s'il est premier avec l'un d'eux, alors il divise l'autre.

Autrement dit, si d divise bc et si d est premier avec b alors d divise c.

(Ce théorème se démontre à l'aide du théorème de Bézout.)

Avec ce théorème tu dois pouvoir y arriver.

Bon courage.

[Rémi]

Le problème c'est que mon professeur ne veut pas, car on ne le connait pas encore, qu'on utilise le théoreme de Bézout , y a t'-il une autre façon de montrer que d est premier a b ?

merci d'avance

[sos-math(22)]

Avez-vous vu le théorème suivant :

soient a et b deux entiers naturels non nuls.
soit d un diviseur commun de a et de b.

les deux propositions suivantes sont équivalentes :

1) d=pgcd (a;b)
2) tout diviseur commun de a et de b divise d.

[Rémi]

Je pense que Oui, mais je rappel qu'il y a une erreur ce n'est pas delta=pgcd(a;b) mais delta=pgcd(a;c).

Mais je ne vois pas en quoi c'est utile.

Pour montrer que delta prime divise delta, je pose delta prime divise a et delta prime divise bc . La combinaison linéaire ne marche pas , (ou je n'arrive pas), et je ne comprend pas ou vous voulez en venir, je suis désolé

Cordialement Rémi

[sos-math(22)]

Parce que l'on peut aussi démontrer le Lemme de Gauss de la manière suivante :

supposons que pgcd(a;b)=1 ; on a alors pgcd (ac;bc)=c.

Montrons maintenant que si a divise bc alors a divise c.

Supposons donc que a divise bc. On sait que a divise ac.

Donc a divise ac et bc ; donc a divise le pgcd (ac;bc)=c.

[Remi]

Il n'y a pas un peu trop d'hypothèse ? il y a pas une démonstration qui montre sans hypothèse cette égalité ? Car si PGCD (a,b) = 2 on peut pas le faire ?

[sos-math(22)]

Je ne comprends pas votre réponse...

Trop d'hypothèses ? Mais de quelles hypothèses parlez-vous ?

Reprenons :

Je vous ai énoncé le Lemme de Gauss, puis je vous ai proposé une démonstration qui n'utilise pas Bézout puisque vous n'avez pas vu Bézout en cours.

Ensuite, je vous propose de terminer de terminer vous-même votre exercice sachant que ce Lemme peut vous y aider.

Voici une dernière indication.

Je vous conseille de commencer ainsi :

on pose effectivement : delta prime = pgcd (a;bc) et delta=pgcd(a;c)

delta prime divise a et bc.

Or delta prime et b sont premiers entre eux car...

Donc delta prime divise c d'après...

Enfin, delta prime divise a et c donc...

A maintenant, réfléchissez bien à tout cela.

Bon courage.

[Rémi]

Je ne sais pas si j'ai trouvé ( enfin en grande partie grâce à vous ) :

Delta prime divise a et delta prime divise bc

Donc delta prime divise ac et delta prime divise bc

Alors delta prime = PGCD(ac;bc)
delta prime = c * PGCD (a;b) Sachant qua a et b sont premier entre eux alors PGCD(a;b)=1
Delta prime = c ie delta prime divise c

C'est comme çà ? :)

Merci Rémi.

[sos-math(22)]

Bonsoir Rémi,

oui, cela me paraît correct.

mais tu peux aussi faire comme ça :

delta prime divise a et bc.

or delta prime et b sont premiers entre eux (je te laisse expliquer pourquoi)

donc delta prime divise c. (Lemme de Gauss).


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ensuite, il te faut conclure : delta prime divise a et c donc delta prime divise delta.

(la réciproque étant évidente.)


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bonne continuation.

[Rémi]

Merci de votre aide, Je vais peux être paraitre ridicule, mais je me suis rendu compte qu'on à pas encore vu le lemme de gauss, simplement le lemme d'euclide , au moyen des dm, on approche progressivement des différent théorème. :)

Je vous remerci sincèrement, et vous souhaite une bonne soirée.

Je vais chercher votre méthode à l'aide de vos pistes, ou comme vous avez dis que j'avais raison, peu être garder la mienne. :)

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite