Barycentre de quatres points non coplanaires

[Paul]

Bonjour,
j'ai un problème avec la deuxième question du premier exercice de mon devoir maison de mathématique.
Voici l'énoncé :
A, B, C, et D sont quatre points non coplanaires de l'espace, et alpha( que j'ai ici remplacé par a) un réel quelconque.
1) Vérifier que le barycentre Ga des points pondérés ( A, a-1), (B, a+2), ( C, 2a+3) et ( D, -4a-2) existe pour toutes les valeurs de a.
2) Quel est l'ensemble des points Ga lorsque a décrit IR (ensemble des réels ) ?

Pour y répondre, je suis parti de l'expression vectorielle (a-1)GaA+(a+2)GaB+(2a+3)GaC+(-4a-2)GaD= 0.
J'ai ensuite utilisé l'associativité des barycentres et la propriété fondamentale du barycentre,
en créant les points K et I respectivement barycentres des points [( A, a-1), ( B, a+2)] et [( C, 2a+3), ( D, -4a-2)].
Cela m'a donné (2a+1)GaK+(-2a+1)GaI= 0, d'ou Ga est le barycentre des points pondérés [(K, 2a+1), (I, -2a+1)].
Avec la propriété de l'alignement des barycentres, Ga, K, I sont alignés, donc Ga appartient a la droite (KI).
Cependant, en fonction des valeurs de a, K et I n'occupent pas la meme position sur [AB] et [CD]. De plus,
Pour que K et I existe, il faut que a soit différent de -1/2 et de 1/2.

Pourriez vous s'il vous plait m'aider à définir l'ensemble des points Ga ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Cherche plutôt les coordonnées de Ga.

sosmahs

[Paul]

Pardonnez moi, mais je n'ai pas très bien compris votre réponse.

Sous-entendez vous que je devrais essayer de voir le problème à partir d'un repère
ou que je devrais essayer avec AG= α+2/2 AB + 2α+3/2 AC + (-4α-2)/2 AD ?

Toutefois, je vous remercie d'avoir répondu a ma question.

[Paul]

Pardonnez moi, mais je n'ai pas très bien compris votre réponse.

Sous-entendez vous que je devrais essayer de voir le problème à partir d'un repère
ou que je devrais essayer avec AG= α+2/2 AB + 2α+3/2 AC + (-4α-2)/2 AD ?

Toutefois, je vous remercie d'avoir répondu a ma question.

[Paul]

Pardonnez-moi, je rectifie ma demande. Étant donné que le solide ABCD m'est totalement inconnu, si ce n'est
qu'il y a un point nommé Gα qui est le barycentre des quatre sommets de ce solide, devrais-je d'après vous essayer avec
les normes des vecteurs plutôt qu'avec les vecteurs eux-même ?

[SoS-Math(4)]

oui, tu as raison, il n'y a pas de repère, on doit pouvoir s'en passer.
Par contre j'ai cherché une astuce mais je n'en trouve pas. Ce que tu as fait ( théorème d'associativité) me semble intéressant mais tu n'aboutit pas.

Peux tu vérifier les poids s'il te plait ?
remarque : la somme des poids est indépendant de a.

sosmaths

[Paul]

Les poids des quatre points A, B, C, D sont respectivement α-1, α+2, 2α+3, et -4α-2.
Leur somme est égale à 2 (4α-4α+5-3).

[sosmaths]

une petite idée que je n'ai pas le temps d'exploiter, mais que je pense pas mauvaise.

Soit K le barycentre de (A, a-1) (B, a+2) . Lorsque a varie K doit se déplacer sur la droite (AB) .

Ensuite soit le W le barycentre de (A, a-1) (B, a+2) (D,-4a-2)

Or le poids de D est égale à -2 fois la somme des poids de A et B .

Donc W est le barycentre de (K, 2a+1)(D, -4a-2)

Donc W est le barycentre de (K, 1)(D,-2)

Donc W doit se déplacer sur une droite delta parallèle à (AB)

Après il faut travailler avec le 4 ème point, et je pense que Ga se déplace sur le plan définit par delta et C.

Il faut vérifier tout ça .

Sosmaths

[sos-math(13)]

Réponse à "sosmath" qui, je le précise, n'est pas identifié comme modérateur :
Je cite :
"Donc W est le barycentre de (K, 1)(D,-2)
Donc W doit se déplacer sur une droite delta parallèle à (AB)"

Comme K se déplace sur (AB), et W sur (KD), alors la conclusion est fausse.
Merci de ne pas poster sous le nom "sos-math" quand vous n'êtes pas modérateur.

[sos-math(13)]

Une idée est de travailler dans le repère (A;B,C,D) qui existe puisque les 4 points sont non coplanaires.

Tu peux ensuite exprimer les coordonnées de Ga dans ce repère puisque A(0;0;0), B(1;0;0), etc...

Puis tu poses t égal à l'abscisse de Ga, et tu détermines y et z de Ga en fonction de t.
Tu obtiens un système de coordonnées dans lequel les coordonnées sont des fonctions affines d'un unique paramètre.

Et tu es censé reconnaître l'objet.

Mais es-tu vraiment en 1ère ?

Bon courage.

[Paul]

L'idée de travailler dans un repère n'est pas mauvaise, seulement je ne connais rien aux points A, B, C, D,
sinon leur barycentre qui n'a pas de position fixe (tout comme les points).

Pour répondre à votre question, je suis bien en 1ère s, et c'est difficile en mathématiques cette année...

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Paul,

Sans l'énoncé complet je pense que l'idée du repère est intéressante ...
En choisissant le repère \((A;\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\), tu auras A(0;0;0), B(1;0;0) C(0;1;0) et D(0;0;1).
Tu vas alors pourvoir déterminer les coordonnées de G dans ce repère.
Il faudra alors démontrer que \(\vec{EG}\) est colinéaire à un vecteur \(\vec{u}\) ... à toi de trouver E et \(\vec{u}\).

Bon courage,
SoSMath.