Exercice sur les suites

[Aurore]

Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider?

Soit (Un) la suite définie par : Un= (5^n)/ (n!)

1) Déterminer Un+1/Un en fonction de n

2) En d"duire que la suite (Un) est décroissante à partir d'un certain rang no

3)Démontrer que:
pour tout entier n supérieur ou égal à 5, Un+1/Un5/6.

4) Al'aide d'un raisonnement par recurrence sur n, démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 5,
oUn(5/6)^n-5 u5.

En déduire la limite de la suite (Un).


pour la 1) je commençais à faire sa:
Un+1/Un = Un+1/ ((5^n)/ (n!)) mais j'arrive pas à finir.
je sais que n!= n x(n-1)x(n-2)x....x1

Merci d'avance!!

[SoS-Math(2)]

Bonjour Aurore,

Vous devez aussi remplacer Un+1 par son expression
\(Un= \frac{5^n}{n!}\) donc \(U_{n+1}= \frac{5^{n+1}}{(n+1)!}\)

Et pensez que \(5^{n+1}=5\times 5^n\) et que \((n+1)! = (n+1) n!\)

A vos crayons et bon courage

[Aurore]

j'ai auusi un petit problème pour en déduire la limite de Un je vois pas comment faire!!

[sos-math(22)]

Bonsoir Aurore,

Reprenons. Avez-vous réussi à faire la première question ?

On a :

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{5^n}{n!}}\)

Et l'aide que l'on vous a apporté précédemment vous devez pourvoir facilement simplifier cette fraction.

Bon courage.

[Aurore]

premiere et deuxieme et troisieme questions j'ai reussi.
c'est pour la 4) question je vous avez envoyer 2 message mais vous les avez pas recu.c'est pour l'initialisation je n'arrive pas a calculer U5 et pour l'hériditer 0<=Un<=(5/6)^(n-5)U5 d'aprés hyppo de reccurrence
U(n+1)<(5/6)Un ; ceci d'après 3)
donc U(n+1)<(5/6)^(n-4)U5 vraie

merci d'avance

[sos-math(22)]

pouvez-vous svp les questions 3 et 4 je ne parviens pas à déchiffrer :

Un+1/Un5/6

et

oUn(5/6)^n-5 u5 (propriété à démontrer par récurrence).

merci.

[sos-math(22)]

Vous avez démontré \(u_{n+1}\leq\frac{5}{6}u_n\) lors de la question 3.

Pour la question 4, vous voulez démontrer par récurrence :

\(u_n\leq(\frac{5}{6})^{n-5}u_5\) pour tout \(n\geq5\).

Est-ce bien cela ?

[sos-math(22)]

Si tel est le cas, c'est très simple :

L'initialisation est immédiate, car pour \(n=5\), on obtient \(u_5\leq u_5\).

(ce qui est bien vrai car l'inégalité est au sens large).

Pour l'hérédité, on utilise la question 3 de la manière suivante :

on suppose que l'inégalité \(u_n\leq(\frac{5}{6})^{n-5}u_5\) est vérifiée pour un entier \(n\).

d'après 3, on a \(u_{n+1}\leq\frac{5}{6}u_n\).

Donc \(u_{n+1}\leq\frac{5}{6}\times(\frac{5}{6})^{n-5}u_5\),

puis \(u_{n+1}\leq(\frac{5}{6})^{n+1-5}u_5\).

Avez-vous compris ?

[Aurore]

je comprends pas pour l'initialisation .
pouvez-vous m'expliquer comment on obtient u5<=u5?
Merci d'avance!!

[Aurore]

comment je pourrais m'y prendre pour la limite.
Merci d'avance

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Pour l'initialisation c'est très simple,

\(u_5\leq u_5\) implique \(u_5=u_5\) ; tout simplement...

Comprenez-vous ?

Pour la limite, il faut utiliser le théorème suivant :

toute suite décroissante et minorée est convergente.

Bonne continuation.