Exercice sur les coordonnées polaires
Exercice sur les coordonnées polaires
Hello,
J'ai un petit exercice à faire pour dans quelques jours et j'aurais besoin de votre aide :/
Le sujet :
''M est le point qui a pour coordonnées polaires (2 ; Pi/6) et le point N est son image dans la rotation de centre O et d'angle Pi/3
Enfin, E est le point tel que OE = OM + ON'' (je précise que ce sont des vecteurs pour OE, OM et ON).
Les questions :
1. a) Quelle est la nature du triangle MON ?
b) Déduire les cordonnées polaires du point I (qui est le milieu de [MN])
2. Donnez la nature du quadrilatère NEMO (nature exacte) et calculez les coordonnées polaires du point E
Voici ce que j'ai réussi à faire (pas grand chose :/) :
1. a) Le triangle MON est isocèle en O car ON et OM sont des rayons du cercle.
(On sait aussi que (Oi ; OM) = Pi/6 et que (Oi ; ON) = Pi/3 et donc (OM ; ON) = (Oi; ON) - (Oi ; OM) soit Pi/3 - Pi/6 donc Pi/6)
b) Je ne sais pas si on peut faire cela mais je tente :
r(point I) = (r(point M) + r(point N)) / 2 et donc cela ferait 2+2/2 soit r = 2.
Comme je cherche les cordonnées polaires (r ; Theta) il me manque Theta.
Theta(Oi ; OI) = Theta (Oi ; OM) + Theta (OM ; OI) soit Pi/6 + Pi/12 = 2Pi/12 + Pi/12 soit 3Pi/12 donc je pense qu'il s'agit de Pi/4 !
2. Je pense qu'il s'agit d'un losange (on veut la nature exacte du quadrilatère).
Au départ je vois un parallélogramme car OM = ON = ME = NE et I milieu de [MN] et de [OE]
De plus les diagonales sont perpendiculaires.
Sa je le vois graphiquement mais comment je peux le démontrer svp ? :(
Ensuite, on me demande les coordonnées polaires de E (r ; Theta)
Pour trouver r, je ne connais que r = (Racine carrée de x² + y²)
Est-ce que je peux donc dire que le point E a une abscisse de tant et une ordonnée de tant simplement en lisant sur le graphique ?
Ensuite pour trouver Théta, je n'en ai pas la moindre idée.
Voilà, si vous aviez des idées ça m'arrangerait bien ^^
Merci !
J'ai un petit exercice à faire pour dans quelques jours et j'aurais besoin de votre aide :/
Le sujet :
''M est le point qui a pour coordonnées polaires (2 ; Pi/6) et le point N est son image dans la rotation de centre O et d'angle Pi/3
Enfin, E est le point tel que OE = OM + ON'' (je précise que ce sont des vecteurs pour OE, OM et ON).
Les questions :
1. a) Quelle est la nature du triangle MON ?
b) Déduire les cordonnées polaires du point I (qui est le milieu de [MN])
2. Donnez la nature du quadrilatère NEMO (nature exacte) et calculez les coordonnées polaires du point E
Voici ce que j'ai réussi à faire (pas grand chose :/) :
1. a) Le triangle MON est isocèle en O car ON et OM sont des rayons du cercle.
(On sait aussi que (Oi ; OM) = Pi/6 et que (Oi ; ON) = Pi/3 et donc (OM ; ON) = (Oi; ON) - (Oi ; OM) soit Pi/3 - Pi/6 donc Pi/6)
b) Je ne sais pas si on peut faire cela mais je tente :
r(point I) = (r(point M) + r(point N)) / 2 et donc cela ferait 2+2/2 soit r = 2.
Comme je cherche les cordonnées polaires (r ; Theta) il me manque Theta.
Theta(Oi ; OI) = Theta (Oi ; OM) + Theta (OM ; OI) soit Pi/6 + Pi/12 = 2Pi/12 + Pi/12 soit 3Pi/12 donc je pense qu'il s'agit de Pi/4 !
2. Je pense qu'il s'agit d'un losange (on veut la nature exacte du quadrilatère).
Au départ je vois un parallélogramme car OM = ON = ME = NE et I milieu de [MN] et de [OE]
De plus les diagonales sont perpendiculaires.
Sa je le vois graphiquement mais comment je peux le démontrer svp ? :(
Ensuite, on me demande les coordonnées polaires de E (r ; Theta)
Pour trouver r, je ne connais que r = (Racine carrée de x² + y²)
Est-ce que je peux donc dire que le point E a une abscisse de tant et une ordonnée de tant simplement en lisant sur le graphique ?
Ensuite pour trouver Théta, je n'en ai pas la moindre idée.
Voilà, si vous aviez des idées ça m'arrangerait bien ^^
Merci !
-
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Bonsoir John,
Tu peux encore préciser la nature du triangle MON, car la rotation est d'angle \(\frac{\pi}{3}\) donc \((\vec{OM},\vec{ON})=\frac{\pi}{3}\)et un triangle isocèle qui a un angle de \(\frac{\pi}{3}\), soit 60° est ...
Pour les coordonnées de I, tu peux calculer OI, tu sais que OM = 2, tu peux déduire MI de la nature de MON et appliquer le théorème de Pythagore pour calculer OI. Ensuite tu connais l'angle \((\vec{i},\vec{OM})\) et \((\vec{OM},\vec{OI})\) dons en déduire \((\vec{i},\vec{OI})\).
Pour NEMO, que sais-tu d'un parallélogramme qui a tous ces cotés de la même longueur ?
Tu connais OI, tu peux en déduire OE car l'angle \((\vec{i},\vec{OE})=(\vec{i},\vec{OE}\)
Bon courage pour reprendre ton exercice.
Tu peux encore préciser la nature du triangle MON, car la rotation est d'angle \(\frac{\pi}{3}\) donc \((\vec{OM},\vec{ON})=\frac{\pi}{3}\)et un triangle isocèle qui a un angle de \(\frac{\pi}{3}\), soit 60° est ...
Pour les coordonnées de I, tu peux calculer OI, tu sais que OM = 2, tu peux déduire MI de la nature de MON et appliquer le théorème de Pythagore pour calculer OI. Ensuite tu connais l'angle \((\vec{i},\vec{OM})\) et \((\vec{OM},\vec{OI})\) dons en déduire \((\vec{i},\vec{OI})\).
Pour NEMO, que sais-tu d'un parallélogramme qui a tous ces cotés de la même longueur ?
Tu connais OI, tu peux en déduire OE car l'angle \((\vec{i},\vec{OE})=(\vec{i},\vec{OE}\)
Bon courage pour reprendre ton exercice.
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Euh...
Excusez-moi mais je ne comprends pas pourquoi (OM ; ON) est égal à Pi/3 ?
Pour moi cela vaut Pi/6.....
Je ne comprends pas votre résultats j'aimerais bien des explications s'il vous plaît car en faisant mon schéma...
Je trouve Pi/6 pour (OM ; ON) et non Pi/3 !
Pi/3, selon moi, concerne l'angle (Oi ; ON)
Bref... Perdu là :(
Excusez-moi mais je ne comprends pas pourquoi (OM ; ON) est égal à Pi/3 ?
Pour moi cela vaut Pi/6.....
Je ne comprends pas votre résultats j'aimerais bien des explications s'il vous plaît car en faisant mon schéma...
Je trouve Pi/6 pour (OM ; ON) et non Pi/3 !
Pi/3, selon moi, concerne l'angle (Oi ; ON)
Bref... Perdu là :(
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Je pense que j'ai mal fait ma figure ?!
En fait, je ne sais pas si vous avez la même chose mais..
J'ai MO = NE et NO = ME donc pour moi il s'agit d'un parallélogramme ^^
En fait, je ne sais pas si vous avez la même chose mais..
J'ai MO = NE et NO = ME donc pour moi il s'agit d'un parallélogramme ^^
-
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
L'angle est \(\frac{\pi}{3}\) car c'est l'angle de la rotation de centre O qui permet de passer de M à N.
Et OM = ON car on a une rotation : donc tout découle de la rotation.
Il faut donc refaire une figure.
Et OM = ON car on a une rotation : donc tout découle de la rotation.
Il faut donc refaire une figure.
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Personnellement, ma figure ressemble à celle-là :
http://uppix.net/d/a/c/7659386847851c3f ... 769464.jpg
Je l'ai fait rapidement sous Paint car je ne possède pas de scanner.
Je dois me tromper alors ?
Je ne comprends vraiment pas la consigne, pas terrible...
http://uppix.net/d/a/c/7659386847851c3f ... 769464.jpg
Je l'ai fait rapidement sous Paint car je ne possède pas de scanner.
Je dois me tromper alors ?
Je ne comprends vraiment pas la consigne, pas terrible...
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
En fait, si j'ai bien compris :
Je mets mon Point M, et j'effectue une rotation de Pi/3 à partir de M pour trouver N ?
Je mets mon Point M, et j'effectue une rotation de Pi/3 à partir de M pour trouver N ?
-
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Tout à fait.
-
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Je n'ai pas la figure, mais le message suivant m'a permis de comprendre que tu as compris la consigne.
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Oui, en effet, un ami a pu m'expliquer ^^
Je me disais aussi que quelque chose n'allait pas, et pour moi la consigne n'était pas très claire et j'ai du mal l'interpréter.
Je vous remercie du coup, je vais essayer de voir si j'arrive à faire l'exercice et si j'ai un souci, je pense relire votre premier message ^^
Merci encore ;)
Je me disais aussi que quelque chose n'allait pas, et pour moi la consigne n'était pas très claire et j'ai du mal l'interpréter.
Je vous remercie du coup, je vais essayer de voir si j'arrive à faire l'exercice et si j'ai un souci, je pense relire votre premier message ^^
Merci encore ;)
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Bonjour !
J'ai plusieurs questions de nouveau :
1/ Je vois que c'est un triangle équilatéral.
Mais comment je peux l'affirmer ?
Je sais juste que OM et ON sont des rayons et qu'ils valent 2.
Donc je peux dire isocèle en O, malgré le fait que je vois que le triangle est équilatéral.
Comment je peux le trouver ?
La seule chose que je connaisse est que (OM ; ON) = Pi/3...
En quoi sa peut m'aider à démontrer que le triangle est équilatéral ?!
2/ Vous me dîtes que je peux utiliser Pyhtagore.
Je connais OM, mais vous dîtes également que je dois en déduire MI ?
Je ne sais pas comment vous faites, mais à moins de mesurer sur ma figure..
Vous voulez sûrement dire que MN = OM = ON ?
Je pense que ça veut dire cela, car comme c'est équilatéral.. (je pensais aux angles de même ''longueur'' mais j'ai carrément zappé la longueur des côtés --')
Donc je peux dire que MN = 2 et comme I milieu de [MN] alors MI = 1 ?
Triangle rectangle en I (on le voit mais pour le démontrer.. aucune idée)
Donc MO² = IO² + MI²
Donc 4 = IO² + 1²
Donc 4 = IO² + 1
Donc IO² = 4 - 1
Donc IO² = 3
IO = Racine de 3 ?
Je crois que j'ai compris ^^
Je trouve donc ici que r = Racine de 3
Ensuite je calcule Theta en faisant (i ; OM) + (OM ; OI) = (i ; OI) ?
Soit Theta = Pi/6 + ((Pi/3) /2) car en fait MIO = Pi/2 et IMO = PI/3 donc IOM = Pi - (Pi/2 + Pi/3) soit IOM = 6Pi/6 - (3Pi/6 + 2Pi/6) donc IOM = 6Pi/6 - 5Pi/6 soit Pi/6 !
J'en reviens à Theta = Pi/6 + Pi/6 soit Pi/3
Donc les coordonnées de I sont (Racine de 3; Pi/3)
3/ Je vois sur ma figure que c'est un parallélogramme d'office.
Car OM = ON (ce sont des rayons)
Et les vecteurs OE = OM + ON m'indiquent que ME = NO et donc NE = OM
Or OM = ON et comme NE = OM et que ME = ON donc OM = ON = NE = ME
Ce qui fait quatre côtés de même longueur donc c'est un parallélogramme.
Ensuite je peux donc dire que c'est un losange car les diagonales sont perpendiculaires je présume ?
En effet, MIO = 90° ou bien Pi/3 (je dirais (IM ; IO))
Je sais que I est le milieu de [MN] et comme c'est un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
+ Un angle droit (pour les diagonales) = un losange donc ?
NB: Sinon vous me conseilliez de calculer OE
Comme OI = Racine de 3 alors OE = 2Racinede3 ?
Par contre je ne vois pas en quoi cela m'aide :P
Merci pour tout, par contre après je bloque pour les coordonnées polaires de E..
Enfin ici je pense avoir r qui serait égal à 2Racinede3 (si je ne me suis pas trompé)
Il me manque Theta... Mais je dirais que c'est Pi/3 également ?
J'ai plusieurs questions de nouveau :
1/ Je vois que c'est un triangle équilatéral.
Mais comment je peux l'affirmer ?
Je sais juste que OM et ON sont des rayons et qu'ils valent 2.
Donc je peux dire isocèle en O, malgré le fait que je vois que le triangle est équilatéral.
Comment je peux le trouver ?
La seule chose que je connaisse est que (OM ; ON) = Pi/3...
En quoi sa peut m'aider à démontrer que le triangle est équilatéral ?!
2/ Vous me dîtes que je peux utiliser Pyhtagore.
Je connais OM, mais vous dîtes également que je dois en déduire MI ?
Je ne sais pas comment vous faites, mais à moins de mesurer sur ma figure..
Vous voulez sûrement dire que MN = OM = ON ?
Je pense que ça veut dire cela, car comme c'est équilatéral.. (je pensais aux angles de même ''longueur'' mais j'ai carrément zappé la longueur des côtés --')
Donc je peux dire que MN = 2 et comme I milieu de [MN] alors MI = 1 ?
Triangle rectangle en I (on le voit mais pour le démontrer.. aucune idée)
Donc MO² = IO² + MI²
Donc 4 = IO² + 1²
Donc 4 = IO² + 1
Donc IO² = 4 - 1
Donc IO² = 3
IO = Racine de 3 ?
Je crois que j'ai compris ^^
Je trouve donc ici que r = Racine de 3
Ensuite je calcule Theta en faisant (i ; OM) + (OM ; OI) = (i ; OI) ?
Soit Theta = Pi/6 + ((Pi/3) /2) car en fait MIO = Pi/2 et IMO = PI/3 donc IOM = Pi - (Pi/2 + Pi/3) soit IOM = 6Pi/6 - (3Pi/6 + 2Pi/6) donc IOM = 6Pi/6 - 5Pi/6 soit Pi/6 !
J'en reviens à Theta = Pi/6 + Pi/6 soit Pi/3
Donc les coordonnées de I sont (Racine de 3; Pi/3)
3/ Je vois sur ma figure que c'est un parallélogramme d'office.
Car OM = ON (ce sont des rayons)
Et les vecteurs OE = OM + ON m'indiquent que ME = NO et donc NE = OM
Or OM = ON et comme NE = OM et que ME = ON donc OM = ON = NE = ME
Ce qui fait quatre côtés de même longueur donc c'est un parallélogramme.
Ensuite je peux donc dire que c'est un losange car les diagonales sont perpendiculaires je présume ?
En effet, MIO = 90° ou bien Pi/3 (je dirais (IM ; IO))
Je sais que I est le milieu de [MN] et comme c'est un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
+ Un angle droit (pour les diagonales) = un losange donc ?
NB: Sinon vous me conseilliez de calculer OE
Comme OI = Racine de 3 alors OE = 2Racinede3 ?
Par contre je ne vois pas en quoi cela m'aide :P
Merci pour tout, par contre après je bloque pour les coordonnées polaires de E..
Enfin ici je pense avoir r qui serait égal à 2Racinede3 (si je ne me suis pas trompé)
Il me manque Theta... Mais je dirais que c'est Pi/3 également ?
-
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Bonjour,
Pour le triangle MON, calcule les autres angles, sachant que la somme des trois est 180° et que l'angle \(\widehat{MON}\) vaut 60°.
Pour l'angle droit en I, que sais-tu de la hauteur, de la médiane, de la médiatrice et de la bissectrice issue du sommet principal d'un triangle isocèle (ou équilatéral) ?
OK pour MI, OK pour OI, OK pour les coordonnées polaires de I, OK pour le losange.
On a bien OE = \(2\sqrt{3}\) et \((\vec{i},\vec{OE})=\frac{\pi}{3}\), d'où ses coordonnées polaires.
Pour le triangle MON, calcule les autres angles, sachant que la somme des trois est 180° et que l'angle \(\widehat{MON}\) vaut 60°.
Pour l'angle droit en I, que sais-tu de la hauteur, de la médiane, de la médiatrice et de la bissectrice issue du sommet principal d'un triangle isocèle (ou équilatéral) ?
OK pour MI, OK pour OI, OK pour les coordonnées polaires de I, OK pour le losange.
On a bien OE = \(2\sqrt{3}\) et \((\vec{i},\vec{OE})=\frac{\pi}{3}\), d'où ses coordonnées polaires.
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Justement, comme cet angle vaut 60° je peux faire 180 - 60 = 120
Mais qu'est-ce qui me dit que cela fait 60 et 60, je pourrais avoir 55 et 65... ?
Ah... Concernant l'angle I... Je sais que I est le milieu de [MN].
Je pense que c'est une hauteur, une médiane, une bissectrice et même une médiatrice lol ca fait tout ^^
Pour répondre à votre question, je dirais que ca coupe le côté opposé en son milieu ? (= médiane ou médiatrice)
Merci pour tout, la seule chose que j'aimerais savoir serait comment je trouve Théta pour E ?
Je connais r qui vaut 2Racinede3 mais comment je peux trouver son Théta ?
Je sais juste que x = cos Théta * r
Je ne connais pas x, à moins que je lise sur le graphique ?
Mais qu'est-ce qui me dit que cela fait 60 et 60, je pourrais avoir 55 et 65... ?
Ah... Concernant l'angle I... Je sais que I est le milieu de [MN].
Je pense que c'est une hauteur, une médiane, une bissectrice et même une médiatrice lol ca fait tout ^^
Pour répondre à votre question, je dirais que ca coupe le côté opposé en son milieu ? (= médiane ou médiatrice)
Merci pour tout, la seule chose que j'aimerais savoir serait comment je trouve Théta pour E ?
Je connais r qui vaut 2Racinede3 mais comment je peux trouver son Théta ?
Je sais juste que x = cos Théta * r
Je ne connais pas x, à moins que je lise sur le graphique ?
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Est-ce que, je peux dire pour Théta, que les points O, I et E sont alignés et que par conséquent, l'angle orienté (i ; OI) = (i ; OE) ?
-
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Exercice sur les coordonnées polaires
Il ne faut pas oublier que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux ! Premier théorème de géométrie énoncé par Thalès ... donc les deux angles font 120/2 = 60° ce qui change tout.
O, I et E sont-ils alignés ? Comme tu connais \((\vec{i},\vec{OI}\), ce n'est pas trop difficile de trouver \((\vec{i},\vec{OE})\).
Bonne continuation
O, I et E sont-ils alignés ? Comme tu connais \((\vec{i},\vec{OI}\), ce n'est pas trop difficile de trouver \((\vec{i},\vec{OE})\).
Bonne continuation