Suites arithmétiques

[elise]

Bonjour, je suis élève de 1ère S et j'ai un exercice à faire en maths sur les suites arithmétiques sur lequel j'ai de petits problèmes. J'aimerais bien un peu d'aide.
Donc l'énoncé est le suivant :

Pour tout entier n > ou = 1, Ln est l'aire de la partie du plan comprise entre les demi cercles de diamètre n et n+1 (voir figure ci-dessous)
a) Démontrer que la suite (Ln)n>=1 est arithmétique
b) Calculer de deux façons différentes la somme L1 + L2 + ..... + Ln

Ce que j'ai trouvé :
a) j'ai trouvé Ln = (2n+1)/8, suite arithmétique de raison 2/8 et j'espère que c'est le bon résultat.
b) Pour la somme la première façon serait de faire : nb de termes *((1er terme +dernier terme)/2) mon résultat est de 6n²/16, je pense que je me suis trompée
je cherche encore la 2eme méthode.

Je posterais à la suite ce que j'ai trouvé pour la question b et éventuellement pour la question a si elle est fausse.

Merci pour votre aide.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Elise,
Moi, je ne trouve pas cela.
\(L_n=\frac{\pi}{2}\left(\frac{n+1}{2}\right)^2-\frac{\pi}{2}\left(\frac{n}{2}\right)^2\).
En effet, l'aire d'un demi-disque de rayon \(r\) est donnée par la formule \(\frac{\pi~r^2}{2}\).
Pour démontrer que c'est une suite arithmétique, il faut exprimer \(L_{n+1}\) en fonction de \(L_n\).
A bientôt.

[elise]

Pour la question b) j'obtiens finalement 8/3 n avec nb de termes = n, dernier terme =Ln et premier terme=L1.

[SoS-Math(1)]

Bonsoir Elise,
Il faut d'abord bien faire la question a. avant de se lancer sur la suite de l'exercice.
A bientôt.

[elise]

Pour Ln j'ai donc :
Ln=((pi/2)*((n+1)/2)²)-((pi/2)*(n/2)²)
Ln=((pi(n+1)²)/8)- ((pi*n²)/8)
Ln=(pi*n² +2npi +pi - pi n²)/8 => peut on dire qu'il y a un facteur commun donc (pi(n²+2n+1-n²))/8 ?
Ln= (2n*pi +pi)/8

Est ce bon ?

Pour demonter que la suite est arithmétique : Ln+1-Ln = pi/8 donc comme la raison est constante on a U= (2npi+pi)/8 suite arithmétique de raison pi/8 .

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,
Oui en effet, mais il est plus simple de factoriser par \(\frac{\pi}{8}\).
On trouve donc bien \(L_n=\frac{\pi}{8}(2n+1)\).
Par contre, je trouve \(L_{n+1}-L_n=\frac{\pi}{4}\)
A bientôt.

[elise]

Merci beaucoup pour votre aide. Effectivement je trouve pi/4 pour la raison.
Quand à la question B je pense que la solution selon la méthode énoncé auparavant et une seconde méthode en utilisant l'aire du petit demi cercle et du grand demi cercle serait de : S=(pi*n(n+2))/8

Merci encore de votre aide. A bientôt.

[SoS-Math(1)]

Bonsoir Elise,
Oui, cette fois, je trouve comme vous pour S.
A bientôt sur ce forum.

[elise]

Merci encore de votre aide. A bientôt.

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation et à bientôt sur SOS Math.