Complexes et Géométrie

[Lucile]

Bonjour, je suis en Terminale S, et j'ai un DM à faire, mais je n'arrive pas commencer.

I - Une vérification

a) Déterminer l'ensemble E des images M de tous les nombres complexes z tels que z + \(\frac{9}{z}\) soit réel.
b) Résoubre dans C l'équation z + \(\frac{9}{z}\) = 1 et vérifier que les images des solution appartiennent bien à l'ensemble E.

II - Projection orthogonale

(O; \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) est un repère orthonormal du plan complexe.
F est l'application du plan complexe dans lui-même qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe f(z) = \(\frac{z}{2}\) + \([tex]\)\frac{i\(\overline{z}}{2}\)[/tex]

1 - Montrer que l'ensemble D des points M dont l'affixe z vérifie f(z) = z est une droite.
2 -
a) Montrer que le nombre \(\frac{f(z)-z}{1-i}\) est réel.
b) En déduire que M' appartient à la droite D(delta)M passant par M et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) - \(\overrightarrow{v}\).
3 -
a) Montrer que pour tout nombre complexe z: f(f(z)) = f(z)
b) Déduire des questions précédentes que M' est le point d'intersection des deux droites D et D(delta)M.

c) Caractériser géométriquement l'application F.



Pourriez vous me donnez une piste pour démarrer la première question ? Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on peut réécrire ton expression cela signifie que \(\frac{z^2+9}{z}\) doit être réel.
Une façon de traduire qu'un complexe \(Z\) est un réel est de dire qu'il est égal à son conjugué : \(Z=\bar{Z}\)
on a alors ici :\(\frac{z^2+9}{z}=\frac{\bar{z}^2+9}{\bar{z}}\).
deux fractions sont égales quand leur produits en croix sont égaux, cela permet de linéariser l'égalité :
\((z^2+9)\bar{z}=(\bar{z}^2+9)z\) développe et essaie d'obtenir en factorisant un produit de deux parenthèses égale à 0.

[Lucile]

Bonjour,

Grâce aux pistes que vous m'avez données j'ai réussi à répondre jusqu'à la question II - 3 - a

Pour la question 3 b): Déduire des questions précédentes que M' est le point d'intersecton des deux droites D et D(delta)M.
Pour répondre, faut-il seulement dire qu'on a démontré que M' appartient à la droite D(delta)M passant par M et étant donné que f(f(z)) = (f(z), on peut en déduire que M est le point d'intersection entre ces deux droites ou y-a-t-il une autre demonstration à faire?

Et pour la dernière question, pourriez-vous m'expliquer comment caractériser l'application F ?

Merci beaucoup pour votre aide.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Tu sais que M' appartient à deltaM, d'après la question 2)a)

Mais tu sais aussi que M' d'affixe f(z) est un point invariant puisque f(f(z))=f(z). Or d'après 1) l'ensemble des points invariants est une droite D. Donc M' est sur D.

Donc M' est à l'intersection de ces deux droites.

pour c) je te laisse un peu réfléchir( fais quelques dessins)

sosmaths