étude d'une fonction rationnelle

[tonnno]

Bonsoir a tous , quelques difficultés pour mon DM ... voici l'énoncé ;

On considère la fonction f définie sur ] - 1 ; + l'infini [ par
f(x) = x3 + 2x² +4 / (x+1)²
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O;i;j ) d'unité 2 cm.
a) Montrer qu'il existe 3 réels a, b, et c tels que pour tout x de ] - 1 ; + l'infini [, f(x) = a*x + b/(x+1) + c/(x+1)²

j'ai mis au même dénominateur donc f(x) = ax²/(x+1)² + b²/(x+1)² + c /(x+1)²
après je bloque...

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Ta réduction au même dénominateur est fausse.

Par exemple : ax=ax(x+1)²/(x+1)²

b/(x+1)= b(x+1)/(x+1)²

Reprends ton calcul.

sosmaths

[tonnno]

ok donc réduction au même dénominateur =ax(x+1)²/(x+1)² + b(x+1)/(x+1)² + c(x+1)²/(x+1)² ???

[SoS-Math(4)]

pour la fraction avec c au numérateur, il n'y a rien à faire puisque le dénominateur est déjà (x+1)².

Donc il faut que tu enlèves le (x+1)² qui est au numérateur.

sosmaths

[tonnno]

oui c'est vrai erreur d'inattention . et après il faut que je developpe le numérateur ou pas ?

[SoS-Math(4)]

Bien sur , tu développes le numérateur de la fraction , tu réunis les termes par puissances décroissantes et puis tu compares avec la fonction du début, tu identifies les coefficients.

sosmaths

[tonnno]

ok donc numérateur =ax(x+1)² + b(x+1) + c
développer = ax(x²+1) + bx + b + c = ax au cube +ax +bx +b +c ?

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
votre résultat est juste mais vous pouvez réduire plus car ax+bx=(a+b)x
Bon courage pour continuer

[tonnno]

ok et après comment je continue ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

numérateur = ax(x+1)² + b(x+1) + c A ce niveau, c'est juste mais...
= ax(x²+1) + bx + b + c Ici, c'est faux. (x+1)²=...

Une fois ce développement corrigé, il faudra identifier les coefficients de chaque puissance de x. A partir de là, tu auras un système d'équations qui te permettra de trouver les valeurs de a, b et c.

[tonnno]

Terme en x^3 : à gauche : a x^3, à droite 1. x^3 donc a vaut 1
Terme en x² : à gauche 2 a x², à droite 2 x² donc 2a = 2
Terme en x : à gauche (a+b) x, à droite zéro, donc a+b = 0
Terme constant : à gauche (b+c), à droite 4 donc b+c=4

c'est ca ? et après ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Tonno,

Il te reste à résoudre ton système ... tu as trouvé a = 1 !
Tu dois pouvoir trouver b et c avec tes deux équations a+b=0 et b+c = 4.

SoSMath.

[tonnno]

a=1
b= -1
c= 5

juste ?
après je dois chercher les limites de f aux bornes de son ensemble de définition qui est ]-1;+l'infini[
comment je fais
? lim -1 ?
lim +l'infini ?

[SoS-Math(9)]

Tonnno(?),

tu as trouvé \(f(x)=x+\frac{-1}{x+1}+\frac{5}{(x+1)^2}\).

La limte en -1 est assez simple, car tu n'as que des limites de références !

En +inf, il faut utuiliser un théorème qui te dit que la limite d'une fonction rationnelle en +ou-inf est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

SoSMath.

[tonnno]

lim -1 = 0 ?
lim + l'infini = lim 5/(x+1)² pour x tendant vers + l'infini
donc pour fonction inverse =0
pour fonction caréé = + l'infini ?