bonjour,
la courbe C ci-dessous est la representation graphique, dans un répere orthonormé (o;;) du plan d'une fonction f définie sur R par: f(x)=ae^2x+be^x, où a et b désignent deux réels
voir graphique aprés.
la courbe C admet au point A(1;-e²/2) une tangente paralléle à l'axe des abscisses.
1) conjecturer le tableau de de variation complet de f à partir de sa répresentation graphique.
x - infini -e²/2 +infini
f(x) +infini (fleche desend) 1 (fleche qui monte) + infini
2)détermine rles réels a et b.
f(x)=ae^2x + be^x donc f'(x)=2ae^2x + be^x
je resous le systéme:
ae² +be=- e²/2 ae²+be= -e²/2 ae²-2ae²= - e²/2 -ae²= - e²/2 -a= -e²/2 x 1/e²=1/2 a=1/2
2ae²+be=0 be=-2ae² be= - 2ae² be= -2ae² be= -2 x 1/2 x e² b= - e²/e= -e
donc f(x)=1/2e^(2x) - e^(x+1)
je suis pas sur de mon raisonnement!!
3)a) justifier la limite de f en - infini et interpréter graphiquement ce résultat.
je trouve 0 donc asymptote horizontale
b)justifier la limite de f en + infini.
lim 1/2e^2x - e x e^x= - infini
x-->+infini
car lim 2x=+infiin d'ou lim e^X= +infini donc lim 1/2 e^2x = +infini
x-->+infini X-->+infini x-->+infini
lim x+1 = lim x=+infiin
x-->+ infini x-->+infini
et lim e^X=+ infini d'ou lim - e^x+1= -infini
x-->+infini x->+infini
pouvez-vous me dire si c'est bon.
c) justifier que f est dérivable sur R et déterminer la dérivée f'de f sur R.
je sais pas comment faire pour justifier que f est dérivable.
f'(x)=1/2 x 2e^2x - ^(x+1)= e^2x - e^(x+1)
4) etudier le signe de f' sur R et retrouver les variations de f sur R.
est ce que quelqu'un peut m ' aider??
merci d'avance!
fonction
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: fonction
Bonjour Aurore,
question 2 et 3a: cela semble juste !
question 3b : tu as une forme indéterminée (\(\infty{}-\infty\))
aide : factroise \(e^x\) dans f(x).
question 3c : Il faut décomposer f comme la somme de fonctions usuelles composées qui sont toutes dérivables sur IR.
question 4 : pour étudier le signe de f ', là encore factorise \(e^x\) dans f '(x).
Bon courage,
SoSMath.
question 2 et 3a: cela semble juste !
question 3b : tu as une forme indéterminée (\(\infty{}-\infty\))
aide : factroise \(e^x\) dans f(x).
question 3c : Il faut décomposer f comme la somme de fonctions usuelles composées qui sont toutes dérivables sur IR.
question 4 : pour étudier le signe de f ', là encore factorise \(e^x\) dans f '(x).
Bon courage,
SoSMath.
-
aurore
Re: fonction
bonjour,
3)b) lim e^x(1/2e^x-e) est ce que ma factorisation est juste??
mais sa fait encore un forme inderterminer ??? et lim - e = ???
c) je comprend pas comment faire pour la décomposé?? est ce que ma dérivé est bonne?
4) f '(x)=e^2x - e^(x+1)
= e^x(e^x-e^1)
e^x=0 e^x - e^1=0
x=0 e^x=e^1
x=1
e^x>0 e^x -e^1>0
e^x>e^1
x>1
et apres je fais le tableau.
est ce que quelqu'un pourrais me dire rapidement si mes réponses sont justes.merci d'avance!!
3)b) lim e^x(1/2e^x-e) est ce que ma factorisation est juste??
mais sa fait encore un forme inderterminer ??? et lim - e = ???
c) je comprend pas comment faire pour la décomposé?? est ce que ma dérivé est bonne?
4) f '(x)=e^2x - e^(x+1)
= e^x(e^x-e^1)
e^x=0 e^x - e^1=0
x=0 e^x=e^1
x=1
e^x>0 e^x -e^1>0
e^x>e^1
x>1
et apres je fais le tableau.
est ce que quelqu'un pourrais me dire rapidement si mes réponses sont justes.merci d'avance!!
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: fonction
Bonsoir,
ok pour la factorisation mais c'est mal exploité : \(f(x)=e^x(\frac{1}{2}e^x-e)\), tu connais les limites suivantes :
\(\lim_{x\mapsto+\infty}e^x=+\infty\) et \(\lim_{x\mapsto+\infty}\frac{1}{2}e^x-e=+\infty\), donc tu as un produit de deux facteurs tendant vers \(+\infty\), donc le produit tend aussi vers \(+\infty\) : ce n'est pas indéterminé ! l'indétermination est "levée" à partir du moment où tu as factorisé (cela sert souvent).
Pour justifier qu'une fonction est dérivable il faut la décrire comme une "composée" (somme, produit, quotient,..) de fonctions usuelles dont on sait qu'elles sont dérivables (cela a été écrit dans le cours)
Ici, f est la différence de deux fonctions g et h \(g(x)=\frac{1}{2}e^{2x}\) \(h(x)=e^{x+1}=e\times\,e^x\), qui sont clairement dérivable car ce sont deux exponentielles et la fonction exponentielle est dérivable d'après le cours.
Ensuite, pour le calcul de la dérivée, c'est bon mais l'étude de signe est à retravailler :
\(e^x=0\), n'a pas de solutions et on a même toujours \(e^x>0\), donc ce facteur n'influence pas le signe de la dérivée dont l'étude se ramène à l'étude du signe de \(e^x-e\).
Pour cela, on résout \(e^x-e>0\), soit \(e^x>e^1\) et du fait de la croissance de l'exponentielle sur \(\mathbb{R}\), on a \(x>1\).
A toi de reprendre cela,
Bon courage
ok pour la factorisation mais c'est mal exploité : \(f(x)=e^x(\frac{1}{2}e^x-e)\), tu connais les limites suivantes :
\(\lim_{x\mapsto+\infty}e^x=+\infty\) et \(\lim_{x\mapsto+\infty}\frac{1}{2}e^x-e=+\infty\), donc tu as un produit de deux facteurs tendant vers \(+\infty\), donc le produit tend aussi vers \(+\infty\) : ce n'est pas indéterminé ! l'indétermination est "levée" à partir du moment où tu as factorisé (cela sert souvent).
Pour justifier qu'une fonction est dérivable il faut la décrire comme une "composée" (somme, produit, quotient,..) de fonctions usuelles dont on sait qu'elles sont dérivables (cela a été écrit dans le cours)
Ici, f est la différence de deux fonctions g et h \(g(x)=\frac{1}{2}e^{2x}\) \(h(x)=e^{x+1}=e\times\,e^x\), qui sont clairement dérivable car ce sont deux exponentielles et la fonction exponentielle est dérivable d'après le cours.
Ensuite, pour le calcul de la dérivée, c'est bon mais l'étude de signe est à retravailler :
\(e^x=0\), n'a pas de solutions et on a même toujours \(e^x>0\), donc ce facteur n'influence pas le signe de la dérivée dont l'étude se ramène à l'étude du signe de \(e^x-e\).
Pour cela, on résout \(e^x-e>0\), soit \(e^x>e^1\) et du fait de la croissance de l'exponentielle sur \(\mathbb{R}\), on a \(x>1\).
A toi de reprendre cela,
Bon courage