Preuves

[Luc]

Bonjour,
Voilà j'ai un devoir maison à faire et donc je dois déterminer :
pour tout entier naturel n : lim (lorsque x tend vers + l'infini) (e^x)/(x^n) = + l'infini

1)a) Démontrer que pour tout réel x, supérieur ou égal à 1, on a e^x >= x². On pourra étudier les variations de la fonction f(x) = e^x - x² sur [1 ; plus l'infini], et utiliser la seconde dérivée f''.
En déduire la limite de (e^x)/x lorsque x tend vers plus l'infini.

J'ai commencer par déterminer f'(x) = e^x-2x
donc f est strictement croissante sur R.
Ensuite j'ai déterminé f''(x) = e^x-2

Mais en suite je ne sais pas ce que je dois faire pour en déduire la limite en plus l'infini de (e^x)/x
Cordialement
Luc

[SoS-Math(2)]

Bonjour Luc,
Vous devez d'abord étudier le signe de f"(x), en déduire les variations de f'(x) puis en déduire le signe de f'(x) ce qui vous donnera le sens de variation de f ainsi que son tableau de signes.
Quand vous aurez montré que au voisinage de +inf, exp(x)>x² vous pourrez en déduire que \(\frac{e^x}{x} >\frac{x}{x^2}\) donc que ........
Vous pourrez alors appliquer un théorème sur les limites.
Bon courage

[Luc]

Merci j'ai compris en quoi servait f'' mais quand vous dites "Quand vous aurez montré que au voisinage de +inf, exp(x)>x² ", vous attendez que je le démontre avec les limites ou plutot en utilisant un tableur (qui est dans l'énoncé) que je l'affirme?
Merci
Cordialement
Luc

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
à l'aide du tableau de variations de f, vous pourrez montrer que f(x)>0 donc exp(x)-x²>0 donc que exp(x)>x²
Bon courage

[Luc]

Voilà j'ai fait tout ce que vous m'avez dit et je trouve le bon résultat.
Cependant j'ai une deuxième question me permettant donc de trouver lim(en + l'infini) e^x/x^n = + l'infini.

Vérifier que, pour tout réel non nul x, on a :
(e^x)/(x^n) = A((e^t)/t)^n avec t = x/n et A une constante
En déduire lim(en + l'infini) e^x/x^n = + l'infini.

Je ne sais pas vraiment ce qu'il faut que je fasse.
Cordialement
Luc

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
si vous posez t = x/n alors x = t*n donc
\(e^{x}=e^{t \times n}=(e^{t})^n\)
et \(\frac{e^x}{x^n}=\frac{(e^{t})^n}{(t\times n)^n}=....\)

A vous de continuer ...

[Luc]

Très bien je trouve ce qu'il faut mais c'est surtout à partir de cela que je ne sais pas comment en déduire la limite.
Cordialement
Luc

[SoS-Math(2)]

Bonjour Luc,
puisque t=x/n, quand x tend vers +inf, t tend lui aussi vers +inf.
Donc chercher la limite de (e^x)/(x^n) c'est chercher la limite de A((e^t)/t)^n quand t tend vers +inf
Et pour calculer cette limite, vous pouvez utiliser la limite de la première question
Bon courage pour terminer

[Luc]

C'est bon j'ai compris merci beaucoup maintenant je vais continuer en prouvant la limite en moins l'infini de x^ne^x=0.
Merci encore et si j'ai un autre souci je vous recontacterais et encore merci.

[SoS-Math(2)]

Nous sommes ravis d'avoir pu vous aider.
A bientôt peut-être sur SoS-Math

[Luc]

Nouveau petit souci dans la preuve de la limite - l'infini de x^ne^x=0
Voilà on me dit que
1) Pour étudier le comportement de x e^x lorsque x tend verd - l'infini, pour tout réel non nul x, on pose X=-x.
Démontrer que x e^x = -X/e^X et en déduire que la limite de x e^x lorque x tend vers - l'infini.

J'ai donc répondu:
pour tout x appartenant à R*, on a -X/e^X = -(-x)/e(-x)
= -(-x) e^x car e^x = 1/e(-x)
= x e^x
Ensuite pour en déduire la limite je ne sais pas si je justifie assez et comment justifier plus:
lim (x e^x) (en - l'infini) = lim -X/e^X (en - l'infini) = 0

Merci d'avance
Luc

[SoS-Math(9)]

Bonjour Luc,

Attention : quand x temps vers \(-\infty\) alors X tend vers \(+\infty\).
donc \(\lim_{x \to -\infty}x e^{x}\) = \(\lim_{X \to +\infty}\frac{X}{e^X}\).

SoSMath.

[Luc]

Bonjour à vous,
J'ai bien compris ce que vous m'avez dit mais lim (en plus l'infini) de X = + l'infini et lim e^X en plus l'infini = + l'infini.
Il y a donc indetermination, non?
Luc

[SoS-Math(9)]

Luc,

tu as raison, on trouve une forme indéterminée !
Pour trouver la réponse il faut peut-être utiliser la limite de référence \(\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\) (si tu l'as vue en classe !) ?

SoSMath.

[luc]

En fait on utilise la 1ere limite que j'ai démontrée avec l'aide d'SOS maths aussi.
Astucieux...
Merci beaucoup.
On a donc lim x e^x (lorsque x tend vers - l'infini) = lim -X/e^X (lorsque X tend vers + l'infini)
Or lim e^x/x = + l'infini (lorsque x tend vers + l'infini) donc lim -X/e^X = 0 (lorsque X tend vers + l'infini)
Luc