Bonsoir.J'ai un exercice très long en DM mais je n'arrive même pas à le commencer, j'aimerai qu'on m'aide au moins pour le début.Je vous mets le début de l'énoncé:
On considère une fonction f dérivable sur ]0;+00[ vérifiant: (1) f '(1)=1
(2) Pour tous réels a et b strictement positifs, f(a.b)=f(a)+f(b).
1.En prenant des valeurs particulières de a et b, démontrer que f(1)=0.
2.Exprimer f(\(\frac{1}{b}\)), puis f(\(\frac{a}{b}\)) en fonction de f(a) et f(b).
3.Démontrer que pour tout entier naturel n et tout réel strictement positif, f(a\(^{n}\))=n.f(a).
Pour la 1. quand on dit strictement positifs les réels peuvent être nuls? Parce-que sinon je pensais à a=1 et b=0.
Et pour la 3 est-ce qu'on peut faire une récurrence ou ça ne marcherait pas comme on a pas de formule pour la fonction?
Exercice sur une fonction sans formule
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Marjolaine
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sos-math(19)
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- Enregistré le : mer. 7 oct. 2009 12:28
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonsoir Marjolaine,
Les questions 1 et 2 utilisent uniquement la propriété (2) de la fonction \(f\).
Pour la question 1, je te suggère de prendre \(a=b=1\). Tu vois alors ce que tu peux en déduire.
Pour la question 2, tu remarqueras que \(\frac{1}{b}\times{b}=1\). Cela devrait te mettre sur la voie.
Pour la question 3, un raisonnement par récurrence semble parfaitement adapté.
Bon courage et à bientôt.
Les questions 1 et 2 utilisent uniquement la propriété (2) de la fonction \(f\).
Pour la question 1, je te suggère de prendre \(a=b=1\). Tu vois alors ce que tu peux en déduire.
Pour la question 2, tu remarqueras que \(\frac{1}{b}\times{b}=1\). Cela devrait te mettre sur la voie.
Pour la question 3, un raisonnement par récurrence semble parfaitement adapté.
Bon courage et à bientôt.
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Marjolaine
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonjour, j'ai réussi la 1ére question grâce à vos indications mais je ne suis pas sûre pour la suite.
Pour la 2 je ne vois pas ce qu'il faut faire avec \(\frac{1}{b}\) x b=1.Est-ce qu'on peut dire que f( \(\frac{a}{b}\))=f( \(\frac{1}{a}\))+f( \(\frac{1}{b}\)) ou c'est faux?
pour la 3 j'ai fait le début de la récurrence mais je n'arrive pas à trouver ce que fait f(\(a^{n+1}\)).
Merci.
Pour la 2 je ne vois pas ce qu'il faut faire avec \(\frac{1}{b}\) x b=1.Est-ce qu'on peut dire que f( \(\frac{a}{b}\))=f( \(\frac{1}{a}\))+f( \(\frac{1}{b}\)) ou c'est faux?
pour la 3 j'ai fait le début de la récurrence mais je n'arrive pas à trouver ce que fait f(\(a^{n+1}\)).
Merci.
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SoS-Math(7)
- Messages : 4004
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:04
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonjour,
Pour trouver le résultat de \(f(\frac{1}{b})\) je te propose de calculer \(f(\frac{1}{b})+~f(b)\)
Puis pour \(f(\frac{a}{b})\), calcule \(f(\frac{a}{b})+~f(b)\)
Pour la récurrence, \(f(a^{n+1})=f(a^n\times~a)\)
Bonne continuation.
Pour trouver le résultat de \(f(\frac{1}{b})\) je te propose de calculer \(f(\frac{1}{b})+~f(b)\)
Puis pour \(f(\frac{a}{b})\), calcule \(f(\frac{a}{b})+~f(b)\)
Pour la récurrence, \(f(a^{n+1})=f(a^n\times~a)\)
Bonne continuation.
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Marjolaine
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonjour, j'ai une question qui va vous sembler idiote mais est-ce que f(a/b)=f(a)-f(b) ?
Sinon j'ai finis la récurrence mais je n'arrive pas à faire la suite vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?
Il s'agit d'étudier les propriétés analytiques de f:
On considère un réel fixe a positif(non nul), un réel variable x positif (non nul) et on désigne par g la fonction définie sur [0;+oo[ par g(x)=f(a.x)-f(x).
1.Sans calculer la dérivée, montrer que g est constante.
2.Sans tenir compte de ce résultat, calculer g'(x).
3.En déduire que pour tout x et tout a positifs et non nuls, a.f '(a.x)=f '(x).
4.Déterminer f '(a) en fonction de a, en déduire les variations de f.
5.Tracer à l'aide d'un tableur, une approximation de la courbe de la fonction f sur [1;2] en utilisant la méthode d'Euler avec un pas de 10-2.
J'ai pas réussi grand chose à part la 1 (j'ai utilisé la 2éme propriété et j'ai trouvé que g(x)=f(a) ).
Je n'arrive pas à calculer g'(x), j'ai g(x)=f(a.x)-f(x) donc g'(x)=a.f '(x)-f '(x) d'où g' (x) =a mais je ne crois pas que ce soit ça.
Et à la dernière question c'est quoi la méthode d'Euler?Il n'y a pas aussi une erreur dans l'énonce quand il y a écrit 10-2 ça ne serait as plutôt \(10^{-2}\) ?
Merci beaucoup.
Sinon j'ai finis la récurrence mais je n'arrive pas à faire la suite vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?
Il s'agit d'étudier les propriétés analytiques de f:
On considère un réel fixe a positif(non nul), un réel variable x positif (non nul) et on désigne par g la fonction définie sur [0;+oo[ par g(x)=f(a.x)-f(x).
1.Sans calculer la dérivée, montrer que g est constante.
2.Sans tenir compte de ce résultat, calculer g'(x).
3.En déduire que pour tout x et tout a positifs et non nuls, a.f '(a.x)=f '(x).
4.Déterminer f '(a) en fonction de a, en déduire les variations de f.
5.Tracer à l'aide d'un tableur, une approximation de la courbe de la fonction f sur [1;2] en utilisant la méthode d'Euler avec un pas de 10-2.
J'ai pas réussi grand chose à part la 1 (j'ai utilisé la 2éme propriété et j'ai trouvé que g(x)=f(a) ).
Je n'arrive pas à calculer g'(x), j'ai g(x)=f(a.x)-f(x) donc g'(x)=a.f '(x)-f '(x) d'où g' (x) =a mais je ne crois pas que ce soit ça.
Et à la dernière question c'est quoi la méthode d'Euler?Il n'y a pas aussi une erreur dans l'énonce quand il y a écrit 10-2 ça ne serait as plutôt \(10^{-2}\) ?
Merci beaucoup.
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonsoir Marjolaine,
Tu as raison f(a/b)=f(a)-f(b) .... Pourquoi ? car f(1/b) = - f(b) ....
1) Ok.
2) On a : g'(x) = (f(ax))' - f '(x) Il reste à dériver la fonction composée ... (voir ton cours)
3) utilise le résultat précédent et le fait que g soit constante (donc g ' = ...)
4) utilise la formule précédente avec x=1 ...
5) Méthode d'Euler : voir ton cours de 1ère S !
bon courage,
SoSMath.
Tu as raison f(a/b)=f(a)-f(b) .... Pourquoi ? car f(1/b) = - f(b) ....
1) Ok.
2) On a : g'(x) = (f(ax))' - f '(x) Il reste à dériver la fonction composée ... (voir ton cours)
3) utilise le résultat précédent et le fait que g soit constante (donc g ' = ...)
4) utilise la formule précédente avec x=1 ...
5) Méthode d'Euler : voir ton cours de 1ère S !
bon courage,
SoSMath.
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Marjolaine
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonjour, j'ai un problème avec la question 2.
J'ai une formule dans mon cours de première qui me dit que la dérivée de u(ax+b) est :a.u(ax+b). Donc quand j'applique cette formule ici ça me donne : g'(x)= a.f '(ax)- f '(x).
Mais du coup je réponds à la question suivante et pas à celle là...Je ne vois pas de fonction composée dans g'(x)=(f(ax))' -f(x).
Merci beaucoup pour votre aide.
J'ai une formule dans mon cours de première qui me dit que la dérivée de u(ax+b) est :a.u(ax+b). Donc quand j'applique cette formule ici ça me donne : g'(x)= a.f '(ax)- f '(x).
Mais du coup je réponds à la question suivante et pas à celle là...Je ne vois pas de fonction composée dans g'(x)=(f(ax))' -f(x).
Merci beaucoup pour votre aide.
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: Exercice sur une fonction sans formule
Bonjour ,
La fonction qui à x fait correspondre f(ax) est la fonction composée de celle qui à x fait correspondre ax et celle qui à x fait correspondre f(x).
Donc tu peux appliquer la formule de première pour calculer (f (ax))' et tu trouves effectivement a.f '(ax)
et donc le résultat que tu as trouvé pour g'(x) est juste
g'(x)=a.f '(ax)-f '(x)
c'est le résultat attendu pour 2)
sosmaths
La fonction qui à x fait correspondre f(ax) est la fonction composée de celle qui à x fait correspondre ax et celle qui à x fait correspondre f(x).
Donc tu peux appliquer la formule de première pour calculer (f (ax))' et tu trouves effectivement a.f '(ax)
et donc le résultat que tu as trouvé pour g'(x) est juste
g'(x)=a.f '(ax)-f '(x)
c'est le résultat attendu pour 2)
sosmaths