Variations d'une fonction

[Nikita]

Bonjour j'ai un exercice sur lequel je bloque dès la première question:

1.a)Etudier les variations de f(x)=x-sin x
b)En déduire que pour tout x positif ou nul sin x\(\leq\) x.

Alors pour la a) je trouve f' (x)=1- cos x et je dois faire le tableau de signe de la dérivée pour en déduire les variations de f. Mais je ne peux pas mettre toutes les valeurs pour lesquelles f(x) =0 puisqu'il y en a une infinité! A moins d'étudier la fonction sur un intervalle puisque c'est une fonction trigonométrique mais ce n'est pas précisé dans l'énoncé (et sur quel intervalle alors?).Mais on trouve que f est croissante.
Pour la b) je n'y arrive pas j'ai: -1\(\leq\)sin x\(\leq\)1
donc x -sin x\(\leq\)1+x d'où -sin x\(\leq\)1. Mais je n'arrive pas à aller plus loin que ça.

Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(20)]

Bonjour Nikita,

Vous savez que pour tout réel x on a : -1 \(\leq\) cosx \(\leq\)1 ce vous permet de déduire le signe de f'(x).

La fonction f est en effet croissante sur IR.

Ensuite vous pouvez calculer f(0) et en déduire le résultat du b) grâce aux variations du a).

Bon courage.

SOS-math.

[Nikita]

Bonsoir,
Je ne comprends pas pour la b).
On trouve f(0)=0 donc on a montré que sin x peut être égal à x mais comment montrer que sin x est inférieur à x?
Vous m'avez dit qu'on peut déduire ça de la réponse à la première question mais je ne vois pas comment.
Merci.

[sos-math(20)]

Bonsoir Nikita,

Pour les questions 2 et 3a il faut en effet reprendre la même démarche qu'au 1 en adaptant les fonctions.

Ensuite, pour la 3b, vous aurez, d'après les questions précédentes, un encadrement de sinx ( questions 1b et 3a). Il vous restera à l'appliquer à x=\(\frac{1}{10}\) pour avoir le résultat demandé.

Bon courage.

SOS-math.

[Nikita]

Bonjour, je n'arrive toujours pas à faire la 3éme question:

3.a)Démontrer de même que pour tout x positif ou nul x- \(\frac{x^3}{6}\) \(\leq\) sin x.

J'ai réussie à faire la 2 en utilisant la même méthode que pour la 1 comme vous m'avez dit mais pour la suivante je n'y arrive pas.
Je pose g(x)=x- \(\frac{x^3}{6}\) -sin x
et g '(x)=1-\(\frac{-x²}{6}\)-cos x. Mais comment je fait pour trouver les valeurs pour lesquelles g '(x) =0? Je sais que pour x=0 g'(x)=0 mais il faut trouver les 2 autres.

Merci pour votre aide.

[sos-math(20)]

Bonsoir Nikita,

Pouvez-vous me redonner l'énoncé de la question 2 car je n'en trouve pas la trace dans nos échanges.

A bientôt.

SOS-math

[Nikita]

Bonsoir, je vous redonne les questions parce-qu'apparemment le message qui les contenait n'a pas été validé:

2.Démontrer de même que pour tout x positif ou nul, cos x\(\geq\)1-(\(\frac{x^2}{2}\)).
Alors ça je l'ai fait en suivant la méthode du 1 mais c'est la suite qui pose problème:
En fait je trouve comme dérivée :g '(x)=1-(\(\frac{x^2}{6}\))-cos x.Je dois trouver les valeurs pour lesquelles g'(x)=0 mais on ne peut pas utiliser le discriminant à cause du cos x, je n'arrive pas non plus à factoriser pour trouver les racines(en fait j'en ai qu'une sur 3: g'(0)=0)

Merci pour votre aide.

[sos-math(20)]

Bonsoir Nikita,

Vous êtes bloquée à la question 3a car vous avez commis une erreur en dérivant g et cela ne vous permet pas d'utiliser le résultat de la question 2. Reprenez le calcul de g'(x) et tout devrait rentrer dans l'ordre.

Bon courage.

SOS-math

[Nikita]

Bonsoir,
En effet j'avais fait une erreur en voulant calculer le dérivée (j'avais mis 6x3=6...)mais maintenant c'est bon!
Merci beaucoup pour votre aide!