Fonctions polynômes: complément d'explications

[Anab]

Bonjour,

Je souhaiterais un complément d'informations concernant l'explication qui m'est donnée sur la méthode à employer pour déterminer le sommet d'une parabole (voir le fichier joint).

Ma demande porte sur le passage : "On a f(0) = 10 . On cherche à déterminer l'autre solution de l'équation f(x) = 10.
xexp2 - 8x + 10 = 10 xexp2 - 8x = 0

Je ne suis pas certaine d'avoir vraiment saisi le pourquoi et le comment de cette étape du calcul. Est-ce qu'on cherche à déterminer les coordonnées du point A puis du point B en cherchant les solutions de l'équation ? Faut-il calculer f(0) dans tous les cas ? Quelqu'un peut-il m'expliquer clairement et simplement pourquoi on passe de xexp2 - 8x + 10 à xexp2 - 8x = 0. Je ne suis pas certaine d'avoir compris cela. Est-ce la seule méthode ? Si j'ai bien compris on a un point S de coordonné (4; -6) que l'on calcul en se basant sur les coordonnés du point (4 ; 0) par lequel passe l'axe de symétrie de la parabole et des deux point A (0; 10) et B(8; 10). Mais pourquoi faut-il calculer les coordonnés de A et B ? Est-ce qu'on ne peut pas simplement calculer f(4) ?
L'explication n'est pas tout à fait claire pour moi. Merci beaucoup pour votre précieuse aide.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
la méthode indiquée dans ton exo suggère l'utilisation de la symétrie : il s'agit de trouver les deux points d'ordonnées 10 et l'abscisse de leur milieu sera l'abscisse de l'axe de symétrie de cette courbe.
Ils l'ont fait avec 10 mais ils auraient pu le faire avec n'importe quelle autre valeur, c'est juste que 10 est l'image de 0, facile à calculer.
Ensuite il cherchent l'autre point d'ordonnée 10, donc ils résolvent f(x)=10, ce qui amène \(x^2-8x+10=10\), les 10 disparaissent de chaque côté et on obtient \(x^2-8x=0\) qui a bien pour solution 0 et 8.
Ensuite, on calcule la moyenne des deux abscisses qui donne l'abscisse du milieu de ce segment et qui sera sur l'axe de symétrie. On a bien 4.
Ensuite pour retrouver l'ordonnée du sommet, on calcule f(4).
Pourquoi a-ton fait comme cela ? C'est une méthode pour être sûr que l'on tombe bien sur l'axe de symétrie, car sinon, qui nous fait choisir 4 ? Et si on a choisi 4, le calcul de f(4) permet de dire quoi ?
C'est une méthode mais il y a bien plus simple : \(f(x)=ax^2+bx+c\), alors le sommet de la parabole représentant f a pour abscisse \(x_0=\frac{-b}{2a}\) et on n'en parle plus...

[Anab]

Bonjour,

Merci pour cette explication. C'était ce que j'avais compris mais un point reste obscur pour moi :

"Ensuite il cherchent l'autre point d'ordonnée 10, donc ils résolvent f(x)=10, ce qui amène x^2-8x+10=10, les 10 disparaissent de chaque côté et on obtient x^2-8x=0 qui a bien pour solution 0 et 8."


"les 10 disparaissent de chaque côté et on obtient x^2-8x=0"

Pourquoi ?

Il y a sans doute quelque chose que je n'ai pas saisi mais là. Du coup, j'ai du mal à faire le lien bien que j'ai compris la méthode.
En cherchant un peu j'ai également trouvé l'autre méthode qui est bien plus simple en effet et que je vais adopter.

Merci encore pour votre aide et la rapidité de vos réponses.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu es bien d'accord avec l'obtention de l'équation \(x^2-8x+10=10\) ?
On passe le 10 de la droite vers la gauche, il devient -10 donc on a \(x^2-8x\underbrace{+10-10}_{=0}=0\) donc on a bien \(x^2-8x=0\) ce qui donne \(x(x-8)=0\) ensuite un produit de deux facteurs est nul quand l'un des deux facteurs est nul...
Est-ce assez détaillé ?

[Anab]

Oui, maintenant je saisi, c'est parfaitement clair. Merci pour cet explication. J'ai une autre question concernant la deuxième méthode : une fois qu'on a déterminé l'abscisse x on détermine l'ordonnée en appliquant donc f(x) ?
Félicitations pour votre site qui va beaucoup m'aider.

[Anab]

Bonjour,

Nouvelle question sur la forme canonique cette fois. Dans l'exemple qui m'est donné :

On a :

Mais ce que je ne comprends pas, c'est :

canonique_2.jpg (4.48 Kio) Vu 3319 fois

Quel est le lien entre cela et la forme canonique ?

Enfin, en ce qui concerne la définition des intervalles, je suis un peu perdue.

"Puisque f est une fonction polynôme de degré 2, f est croissante sur ] -infini; -1] et décroissante sur [1; + infini ["

Mes questions :

1.Pourquoi -1 et non 1 sur l'intervalle croissant ?
2.Quelqu'un peut-il m'expliquer cette conclusion autrement ?
3.Puis-je déterminer les coordonnées du sommet par calcul à partir de la forme canonique comme pour la forme développée ? Si oui, comment ?

Merci.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Je vais essayer de répondre à tes questions dans l'ordre...

une fois qu'on a déterminé l'abscisse x on détermine l'ordonnée en appliquant donc f(x) ? Oui, c'est bien cela.

Deuxième exercice :

Lorsqu'on te donne \(f(x)=-2(x-1)^2+3\), cette expression est la forme canonique de \(f(x)\).

Tu sais qu'un carré est toujours positif donc pour tous x réel, \((x-1)^2\geq 0\) donc \(~-2(x-1)^2\leq 0\) (règle des signes).

Question 1 : il y a une erreur dans cette correction, il faut lire \(f\) croissante sur \(]-\infty ; ~1]\) et décroissante sur \([1 ; +\infty[\). Ceci est un résultat de ton cours sur les fonctions du second degré (du type \(ax^2+bx+c\) si on développe et réduit l'expression).
Question 2 : imagine la représentation graphique de cette fonction, la conclusion te semblera, peut-être, plus simple.
Question 3 : Les coordonnées du sommet sont données par la forme canonique. L'abscisse est la valeur de \(x\) tel que \((x-1)^2=0\). La valeur de l'ordonnée est 3 : \(f(x)=-2(x-1)^2\underbrace{+3}_{~}\) .

Bonne continuation

[Anab]

Bonjour,

Merci, je comprends mieux maintenant.

J'aurai d'autres questions, dont les suivantes :

1. Je dois justifier que la courbe représentative de f: x ---> (x + 4) (-x + 2) coupe l'axe des abscisses en deux points.

J'ai utilisé utilisé la méthode des équations produits pour f(1) et j'ai obtenu x= -4 ou x = -2

Je ne suis pas certaine de la justesse de la méthode employée.


2. Il faut déterminer les coordonnées des points communs de la courbe représentative de f : x ----> 3x(2 - 5x) et de l'axe des abscisses.

Là, je suis perdue et je ne parviens pas à définir la méthode à employer.


3. Comment procéder dans le cas où il faut démontrer par exemple que, pour tout x, f(x) = (x + 1) (x - 3) ? Avec f : x ----> x exp 2 - 2x - 3
J'ai encore un peu de mal avec ce genre de démonstrations.


Une autre question : comment faire pour afficher les symboles mathématiques comme vous le faites ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Reprenons les questions :

1) Cette fonction est du second degré, les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les points d'ordonnée 0. Pour cela, il faut effectivement rechercher les valeurs de x pour lesquelles f(x)=0. Équation produit donc 2 solutions (-4) et 2. Vérifie tes calculs.

2) Il faut faire exactement la même chose, rechercher les solutions de l'équation f(x)=0. Là encore il y a deux solutions.

3) Je ne comprends pas ta question, ce que tu veux montrer n'est pas juste.

Pour les formules, j'utilise l'éditeur Tex, tu peux regarder le document disponible sous "Écrire des mathématiques en Tex".

Bonne continuation.

[Anab]

Bonjour et merci pour ces explications

Je reprends la questions précédente

Comment procéder dans le cas où il faut démontrer par exemple que, pour tout x, f(x) = (x + 1) (x - 3) ? Avec f : x ----> x exp 2 - 2x - 3

Il s'agit de déterminer (graphiquement) les coordonnées des points communs de la parabole représentative de f et de l'axe des abscisses, puis de Montrer que, pour tout x, f(x) = (x +1)(x - 3).

On me donne la forme développée de la fonction qui est : par la fonction f, l'image de l'antécédent x est x au carré - 2x - 3.
Comment faire ? Est-ce qu'il suffit de prendre deux valeurs de x quelconques et ensuite calculer f(x), puis de remplacer les valeurs de x dans la forme factorisée ? Je ne sais pas.

J'aurais également besoin d'aide pour les formes factorisées ou il faut factoriser l'écriture de f(x)
J'aurais besoin d'exemples.

Par exemple :

f(x) = 2x(x - 7) - x au carré

f(x) = (x - 1)(2x - 3) + (x - 1)(3x - 4)

f(x) = 3(x + 3) au carré - 2(x + 3)(x - 5)

Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour anab,

Il existe plusieurs méthode pour factoriser un polynôme du 2nd degré ....

En voici quelques unes :

* Présence d'un facteur commun, qu'il faut factoriser, dans les termes de la somme :
Exemple : f(x) = (x - 1)(2x - 3) + (x - 1)(3x - 4) où (x-1) est le facteur commun. Alors f(x) = (x-1)[(2x-3)+(3x-4)] = ....
ou f(x) = 3(x + 3)² - 2(x + 3)(x - 5) où (x+3) est le facteur commun.

* on a le développement d'une identité remarquable :
Exemple : f(x) = x² - 2x + 1 (forme développée de (a-b)²) donc f(x) = (x-1)²
ou f(x) = x² - 4 (forme développée de (a-b)(a+b))

* Dans les autres cas tu vas apprendre d'autres méthodes.

SoSMath.