barycentre et triangle équilatéral

[charlotte section S]

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4
1- Soit G le centre de gravité de ABC
a)Démontrer que 2MA-MB-MC= 3GA pour tout point M du plan.(ce sont des vecteurs bien sûr)
b)Démontrer que l'ensemble des points M du plan tels que
(valeur absolue des vecteurs)MA+MB+MC = 2MA-MB-MC (valeur absolue des vecteurs)est le cercle circonscrit à ABC
2- Soit H le barycentre de (A,1), (B,1) et (C,2), et I le milieu de [AB]
a) démontrer que H est le milieu de [CI]
b) démontrer et construire l'ensemble D des points M du plan tels que(valeur absolu des vecteurs) MA+MB+2MC47
c) démontrer que A et B appartiennent à D.

bonjour,
je bloque sur cet exercice, je n'arrive pas à "utiliser" l'information ABC équilatéral et je n'y arrive pas.... merci de votre aide!

[sos-math(21)]

Bonjour,
une information importante : G centre de gravité du triangle équilatéral signifie que G est le barycentre de \(\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\) (isobarycentre en gros)

[sos-math(21)]

Rebonjour, on peut compléter cela par une égalité vectorielle \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\) et pour prouver ton égalité de départ, pourquoi pas intercaler G dans chaque vecteur de gauche et utiliser cette relation ? On doit s'en sortir...

[charlotte section S]

merci, j'ai réussi à faire la question 1 a)! xD ....et maintenant je coince sur la b)....x) parce qu'en remplaçant, je trouve 3GA=0....c'est sûrement faux...j'attends vos réponses! merci d'avance! :)

[sos-math(21)]

Rebonjour,
tu as du apprendre la formule suivante si \(G=bar\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}\) alors pour tout point \(M\) du plan :
\(\vec{MG}=\frac{\alpha\vec{MA}+\beta\vec{MB}+\gamma\vec{MC}}{\alpha+\beta+\gamma}\), donc si tu l'appliques ici :
tu as \(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}\) et comme on a avait obtenu \(2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}=\vec{GA}\), l'égalité que tu as au départ (en vecteur, pas avec les normes pour l'instant) donne :
\(3\vec{MG}=3\vec{GA}\) soit en passant aux normes et en simplifiant \(GM=GA\), à toi de terminer

[charlotte section S]

ah ok merci j'ai compris!
pour le 2), je sais que I est l'isobarycentre de A et de B donc AI=1/2 AB...mais après je ne sais pas comment faire...je sais je suis vraiment nulle mais je viens de commencer le chapitre! xD

[sos-math(21)]

Bonjour,
est-ce que tu connais la technique du barycentre partiel ?
Je t'explique :
Si un point H est le barycentre de \(\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}\,\mbox{avec} \,\alpha+\gamma\neq0\),
si on note I le barycentre de \(\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\),
H est encore le barycentre du nouveau système \(\{(I,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\),
Applique cela avec I barycentre de \(\{(A,1),(B,1)\}\) : c'est une autre façon de traduire que I est le milieu de [AB].

[charlotte section S]

euh...non je n'ai pas vu...et je n'ai pas compris grand chose^^y a t il un autre façon plus simple?

[sos-math(21)]

Une autre façon de voir les choses :
on part de la relation définissant H :
\(\vec{HA}+\vec{HB}+2\vec{HC}=\vec{0}\) on intercale I avec Chasles :
\(\vec{HI}+\vec{IA}+\vec{HI}+\vec{IB}+2\vec{HC}=\vec{0}\)
donc
\(\underbrace{\vec{IA}+\vec{IB}}_{=\vec{0}\, car\, I\,milieu\, de\,[AB]}+2\vec{HI}+2\vec{HC}=\vec{0}\)
et on a ce qu'on veut

[charlotte section S]

ok! merci! :)
plus que la b) et la c)! ><' xD ...comment faut il faire?

[sos-math(21)]

Réutilises encore ce bon vieux Chasles pour intercaler H dans chaque vecteur de ta somme tu auras des simplifications et tu retomberas encore sur
une égalité du genre \(||\vec{MH}||=\delta\) et la tu dois reconnaître un objet géométrique que tu as déjà vu dans l'exercice.
Note que tu peux construire cet ensemble car le point H est facile à construire puisqu'on sait que c'est le milieu de [IC].
A toi de travailler un peu,
Après pour vérifier que A et B sont dans cet ensemble, calcule HA et HB..

[charlotte section S]

donc j'ai trouvé MH <= racine de 7
donc l'ensemble est le cercle de centre H et de rayon inférieur ou égal à racine de 7
mais après pour la c) je ne sais pas comment faire...pour exprimer AH et BH? ça fait HA=HM + MA??et après? comment intégrer le racine de 7?merci d'avance!

[charlotte section s]

HELP PLEASE :(

[sos-math(21)]

Bonsoir,
c'est "=" ou "\(\leq\)" pour ton ensemble de points ? cela change, si c'est égal, c'est bien un cercle, si c'est \(\leq\), c'est un disque : le cercle et son intérieur.
Pour savoir si A et B sont dans D, il faut évaluer HA et HB.

[charlotte section S]

c'est inférieur ou égal! je ne vois pas comment évaluer HA et HB....quand je fais HA+HB+2HC=0 et que j'isole HA après je me retrouve avec: HA=1/4BA+1/4CA....il faudrait que je trouve HA=GA ou un truc du genre, mais je ne vois pas comment faire...