Bonjour,
j'ai un problème concernant l'exercice suivant.
"L'entier 10^n-(-1)^n est-il un multiple de 11 pour tout entier naturel n?"
*J'ai d'abord initialisé en montrant que la proposition est vraie pour n=0
*J'ai ensuite supposé que la proposition est vraie pour un entier k fixé (k supérieur ou égal à 0), c'est à dire que : Uk = 10^k-(-1)^k=11p [avec p appartenant aux entiers naturels ou relatifs]
*Je dois maintenant vérifier que la proposition est toujours est vraie pour un entier k+1, c'est à dire que : Uk+1 = 10^k+1-(-1)^k+1=11p' [avec p' appartenant aux entiers naturels ou relatifs]
Mais c'est pour prouver ceci que se pose mon problème...
J'ai réussi à écrire que :
Uk+1 = 10^k+1-(-1)^k+1
=10^k.10 - (-1)^k.(-1)
=10^k.10 + (-1)^k
Mais je n'arrive pas à aller plus loin. Je pense qu'il faut trouver un résultat ou un terme est factorisé par 11 mais je n'y arrive pas. J'ai essayé de remplacer 10^k par 11p+(-1)^k et (-1)^k par -11p+10^k d'après la proposition précédante mais ça n'a abouti à rien... Je ne vois vraiment plus comme continuer..
J'espère que vous pourrez me venir en aide.
Merci par avance
Récurrence
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Claire
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Récurrence
Bonjour,
ta démarche est correcte, il faut juste se débrouiller pour faire apparaître le rang n dans l'expression du terme de rang n+1 :
on commence par écrire comme tu l'as fait :
\(10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times10^n-(-1)^{n+1}\) et c'est là que ça se corse : ce qui nous gêne c'est le \(10^n\), c'est un gros terme, il faut le faire "sauter" avec l'hypothèse de récurrence, on fait donc de la magie :
\(10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times10^n-(-1)^{n+1}=10\times(10^n-(-1)^n)+10\times(-1)^n-(-1)^{n+1}\), ensuite on a a le premier terme qui est divisible par 11 par hypothèse, et le résidu doit se factoriser par \((-1)^n\) laissant apparaître le facteur 11... donc tout est divisible par 11
ta démarche est correcte, il faut juste se débrouiller pour faire apparaître le rang n dans l'expression du terme de rang n+1 :
on commence par écrire comme tu l'as fait :
\(10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times10^n-(-1)^{n+1}\) et c'est là que ça se corse : ce qui nous gêne c'est le \(10^n\), c'est un gros terme, il faut le faire "sauter" avec l'hypothèse de récurrence, on fait donc de la magie :
\(10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10\times10^n-(-1)^{n+1}=10\times(10^n-(-1)^n)+10\times(-1)^n-(-1)^{n+1}\), ensuite on a a le premier terme qui est divisible par 11 par hypothèse, et le résidu doit se factoriser par \((-1)^n\) laissant apparaître le facteur 11... donc tout est divisible par 11
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Claire
Re: Récurrence
Merci pour votre réponse claire et rapide!
Bonne continuation!
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