Les nombres de Mersennes

[mathilde]

J'ai un devoir de Spé maths à rendre et j'ai un peu de mal à le faire, pourriez - vous m'aider ?

Les Nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N=(2^P)-1, avec p naturel.
a. Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1+a+...+a^(n-1)
b. Montrer que, si (a^n)-1 est un nombre premier alors a=2
c. Montrer que si n est composé alors (2^p)-1 est composé.
d. Montrer que si p est premier, alors (2^p)-1 est premier pour certaines valeurs de p, et composé pour d'autres valeurs.

J'ai réussi à faire la question a. mais je bloque pour le reste.
Merci

[sos-math(21)]

Bonsoir,
avez-vous simplifié la somme \(1+a+a^2+...+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}\) : somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison a.
Donc on a en remettant en ligne \(a^n-1=(a-1)\times(1+a+a^2+...+a^{n-1})\)
Donc si on suppose \(a^n-1\) premier, il n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs.
La décomposition précédente fournissant deux diviseurs de \(a^n-1\), nécessairement on doit avoir a-1=1, car cela ne peut pas être \(1+a+a^2+...+a^{n-1}>1\) donc ....

[mathilde]

Oui j'ai bien obtenu cette simplification,
Je comprend votre raisonnement, mais je ne comprend pas sur quelle propriété on s'appuie ?

[Mathilde]

Oui j'ai bien obtenue cette simplification, mais le seul problème c'est que je comprend votre raisonnement, mais je ne comprend pas sur quelle proprieté nous nous appuyons ?

[mathilde]

Désolé pour la double réponse, il y a eu un problème ...

[sos-math(21)]

Je m'appuie sur la définition d'un nombre premier : dire qu'un nombre est premier signifie qu'il n'a pas d'autre diviseurs que et lui-même, il est incassable : on ne peut pas l'écrire sous la forme \(p=a\times\,b\,,\,a,b\in\mathbb{N}\), on ne peut pas le décomposer autrement que par \(p=1\times\,p\),
Ici ayant écrit \(a^n-1=...\times...\), la seule possibilité est que parmi ces deux facteurs, il y en a qui vaut 1 et l'autre qui vaut \(a^n-1\), et comme \(1+a^2+...+a^{n-1}>1\), il vaut nécessairement \(a^n-1\) et c'est l'autre qui vaut 1 !
cela te semble-t-il plus clair ?

[Mathilde]

Ah oui beaucoup, merci

[sos-math(21)]

Tant mieux,
je te laisse voir pour la suite, (vérifie bien l'énoncé que tu as envoyé, il y a des n, des N, des p et je ne comprends pas tout)
Bonne soirée

[Mathilde]

Merci beaucoup pour ce que vous avez deja fais.
J'ai verifié mon énoncé, c'est le même.
Bonnne soirée

[sos-math(21)]

tiens nous au courant de tes progrès dans ce dm.
Bonne soirée

[Mathilde]

J'ai juste une question .... : qu'est-ce qu'un compose ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mathilde,

Un nombre composé est un nombre produit de deux ou plusieurs nombres premiers : 6 est composé car \(6=2\times3\) de même que 100, car \(100=2^2\times5^2\).
Tout nombre, excepté 0 et 1, sont soit premier soit composé.

Bonne continuation

[Mathilde]

J'ai réellement essayé toute la journée, je ne comprend vraiment pas comment faire ...
dois-je montrer la question 3 à partir de la 1 ? Parce que tous mes raisonnement n'aboutissent pas ...

[sos-math(21)]

Bonjour,
\(n\) est composé s'il existe deux entiers naturels \(u,v\) autres que 1 et \(n\), tel que \(n=u\times\,v\) (diviseurs propres)
ensuite il faut appliquer cela à \(2^n-1=2^{u\times\,v}-1=(2^{u})^v-1\) et là tu réappliques la question 1 avec \(2^{u}\)

[Elena]

Bonsoir,

j'ai le même exercice à faire mais j'avoue que je bloque sur la dernière question.
Faut-il faire un raisonnement par l'absurde ? OU par disjonction des cas ?