fonction exponentielle et equations différentielles

[Lola]

Bonsoir,
Voila je révise un controle qui arrive à grand pas en faisant des exercices mais voilà, j'ai un petit souci.
Voici l'énoncé:
1a) résoudre l'équation différentielle : y'=-y/2 (E0)
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions : k(x) = c exp(-x/2 )
1b) Considérons l'équation differentielle : 2y'+y= exp(-x/2) (x-1) (E)
Déterminer les deux réels a et b tels que f(x)= exp(-x/2) (ax²+bx) soit solution de (E)
C'est ici que je bloque.
J'ai calculé la dérivée de f qui donne:
f'(x) = -1/2 exp(-x/2) (2ax+b)
Mais là je dois remplacer dans (E) et au final je trouve des résultat étranges : b = 1 et a = 0
Cordialement
Lola

[sos-math(22)]

Bonsoir Lola,

Tu as fait une erreur dans le calcul de la dérivée de f.

Je te rappelle que la dérivée d'un produit n'est pas égal au produit des dérivées : \((uv)'\) n'est pas égal à \(u'v'\).

On a : \((uv)'=u'v+uv'\)

Je te conseille donc de calculer correctement la dérivée de f ; puis de calculer \(2f'(x)+f(x)\) en fonction de x.

Bon courage.

[Lola]

Merci de votre réponse.
La dérivée donne donc : f'(x)=-1/2 exp(x/2) (ax²+bx) + exp(-x/2) (2ax+b)
je trouve pour 2f'(x) + f(x) = -exp(-x/2) (ax²+bx) + 2exp(-x/2) (2ax+b) + exp(-x/2) (ax²+bx)
= 2 exp(-x/2) (2ax+b)
Que dois je faire ensuite?
Cordialement
Lola

[sos-math(22)]

C'est nettement mieux...
Ensuite, tu dois tout simplement identifier avec exp(-x/2) (x-1).
Bon courage.

[Lola]

Si j'ai tout compris, par identification :
2a= -1 donc a = -1/2
et b = -1
Cordiaement
Lola

[sos-math(22)]

Non, tu as 2(2ax+b)=x-1.

Donc...

[Lola]

Merci beaucoup pour m'avoir guidée!!
Au final on a : 4 ax + 2b = x-1
On prend x=0 donc b = -1/2
et pour x=1 on trouve a = 1/4
Encore merci pour m'avoir consacré du temps et bonne soirée.
Cordialement.
Lola

[sos-math(22)]

Tu connais maintenant une solution particulière de l'équation avec second membre.

Regarde dans ton cours (ou bien sur un exemple) comment l'on détermine l'ensemble des solutions de l'équation avec second membre connaissant une solution particulière de l'équation avec second membre et les solutions de l'équation sans second membre.

Bonne continuation.