Devoir maison suites

[Marie]

Bonjour , voila mon devoir maison ,
"On donne les trois propriétés suivantes :
P1 : « si une suite décroissante converge
vers 0, alors elle est positive ».
P2 : « si une suite positive est
décroissante, alors elle converge
vers 0 ».
P3 : « si une suite positive converge vers
0, alors elle est décroissante ».
Pour chacune d’elles, dire si elle est vraie
ou fausse, et le démontrer."

Je sais que la première est vraie et les deux autres sont fausses seulement je ne sais pas comment le démontrer . J'ai trouvé un contre exemple pour P2 donc c'est bon mais le reste je ne sais pas .

Merci de votre aide

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
pour P1, vous pouvez raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe un terme Up de la suite négatif. Que se passe-t-il pour les suivants? La suite peut-elle avoir pour limite O?
pour P3, il faut aussi trouver un contre-exemple car la propriété est fausse.
Bon courage

[Marie]

Merci je vais essayer.

[Marie]

Bonjour,
je n'y arrive pas , je ne trouve pas de contre exemple pour P3 car j'ai du mal à admettre qu'elle est fausse cette propriété ..
Et pour P1 je ne sais pas comment faire même avec votre indication .
Merci

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
Etudier la suite Vn=1/n+(-1)^n/(n+1)
Elle correspond aux critères de P3 et n'est pas décroissante

Pour P1
supposons qu'il existe un terme Up de la suite négatif.
Puisque U est décroissante , pour tout n>p,U(n+2)< U(n+1)<Un<Up<0. donc à partir du rang p, les termes s'éloignent de plus en plus de 0
Prenez l'intervalle ]Up;-Up[ et essayez d'appliquer la définition de la limite de la suite . Est-ce possible?

Bon courage

[Marie]

Merci beaucoup je vais essayer de faire tout ça !
merci encore

[Marie]

bonjour,
Pour p3 avec votre suite je n'arrive pas à démontrer qu'elle n'est pas décroissante en faisant Vn+1- Vn mon calcul ne même à rien et je n'arrive pas non plus à montrer qu'elle converge vers 0 .
Merci

[sos-math(21)]

Bonsoir,
pour montrer qu'une suite n'est pas décroissante, il suffit de calculer les premiers termes et mettre en évidence qu'ils ne vont pas toujours en diminuant : calcule \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\) cela doit suffire..pour prouver qu'elle n'est ni croissante ni décroissante.

[Marie]

ça je l'ai fait et effectivement elle n'est pas toujours décroissante , j'étais persuadé qu'il fallait faire Vn+1-Vn . Par contre j'essaie de montrer qu'elle converge vers 0. Et pour dire qu'elle est positive suffit t-il de dire "n apartient à N, donc (1/n) +((-1)^n/(n+1))>0 ?
Merci

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Pour démontrer que cette suite est toujours positive, il faut s'interroger sur son signe. Pour cela, étudie les deux cas de figure : cas où n est pair, cas où n est impair.
Pour montrer que la suite converge vers 0, c'est un peu la même idée...

Bonne continuation.

[Marie]

si n est pair ma suite est positive , si n est impair vn est négative , alors est ce que ça correspond bien à ma propriété?
Merci

[Marie]

si n est impair 1/n > -1/(n+1) donc lvn est positive .
Merci beaucoup maintenant je vais essayé de démontrer P1.
Merci encore

[sos-math(21)]

Bonsoir,
attention à tes raisonnements, j'ai du mal à te suivre :
Regarde bien ta suite \((v_n)\), proposée : c'est la fraction \(\frac{1}{n}\) à laquelle on ajoute/soustrait \(\frac{1}{n+1}\) selon la parité de n.
Mais quoiqu'il arrive, \(\frac{1}{n+1}\) est toujours plus petit que \(\frac{1}{n}\) donc \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}>0\) et on a évidemment \(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}>0\), conclusion \(v_n>0\)