Démonstration

[Lucas]

Bonsoir,
Je dois démontrer la réciproque de la propriété suivante:
soit f une fonction dérivable sur R
quelques soient x et y appartenant à R, f(x+y) = f(x) x f(y) est équivalent à : il existe a appartenant à R tel que f(x) = exp (ax) sur R.

Voici mes hypothèses de départ :
quelque soit y appartenant à R, g(x) = f(x+y) - f(x) f(y)

Je commence par calculer g'(x):
g'(x)= f'(x+y) - f'(x) f'(y)

Mais ensuite je ne sais que faire.
Merci d'avance.

[sos-math(22)]

Bonsoir Lucas,

Tu dois démontrer dis-tu la réciproque de cette propriété.

Il s'agit donc de considérer un réel \(a\) appartenant à \(R\) et la fonction \(f\) définie sur R par \(f(x)=\exp(ax)\).

On a donc à démontrer que \(f(x+y)=f(x) \times f(y)\) pour tous \(x\) et \(y\) réels.

Pour ce faire, je te conseille de considérer pour un réel \(y\) fixé la fonction \(\phi\) définie et dérivable sur \(R\) :

\(\phi(x)=\frac{f(x+y)}{f(x)}\) (Fais bien attention ici : \(x\) est la variable ; \(y\) un paramètre.)

Tu vas ensuite dériver ce quotient et démontrer que cette dérivée est nulle sur \(R\) ; donc que \(\phi\) est constante sur \(R\).

Tu montreras enfin que cette constante est égale à \(f(y)\).

Bon courage.

[Lucas]

Merci
Donc j'ai dérivé et je trouve
g(x) = (f(x+y) f'(x) - f'(x+y) f(x))/ 2
Mais comment démontrer qu'elle est nulle sur R?
Merci

[sos-math(22)]

Non ta dérivée est fausse.

\(\phi'(x)=\frac{f'(x+y)f(x)-f(x+y)f'(x)}{???}\)

Trouves toi-même le dénominateur et ensuite rappelle-toi que l'on a une hypothèse pour \(f\).

[Lucas]

oui en effet le dénominateur est (f(x))².
On a donc g'(x) = (f(x+y) exp(ax) - f'(x+y) exp(ax))/ (exp(ax))²
donc g'(x) = 0

[sos-math(22)]

non, pour prouver que \(\phi'(x)=0\) cela ne suffit pas !

mais que vaut \(f(x+y)\) ? et \(f'(x+y)\) ?

[Lucas]

f(x+y)=f'(x+y) non?

[sos-math(22)]

pourquoi ?