Dérivés et Limites

[Emeline]

Bonjour à tous!
J'ai un problème avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide pour m'éclaircir un peu.. Voici l'énoncé:

Soit λ un nombre réel. On définit la fonction f sur |R par f(x) = (x+λ)/(x²+1)
1) Montrer que cette fonction est dérivable et calculer sa dérivée.
2)a) Montrer que f' s'annule en 2 points a et b (où a<b). Etudier le signe de f'.
b) Montrer que f(a)=1/2a et que f(b)=1/2b.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4)a) On appelle mλ le minimum de la fonction et Mλ son maximum. Exprimer mλ et Mλ en fonction de λ.
b) On peut considérer mλ et Mλ comme des fonctions de λ. Quelles sont leurs limites lorsque λ devient très grand ?



L'exercice ne me semble pas si compliqué que ça, mais c'est le λ qui me pose problème!
Mes réponses:
1) Etant donné que λ est un nombre réel, et qu'on sait que f'(x) = (u'v - uv') / v², on trouve que f(x) = [1(x²+1) - (x+λ)x²]/(x²+1)² soit f(x) = (x²+1-2x²+2λx)/v² et ainsi que f(x) = (-x²+2λx)+1)/v²
2)a) Pour trouver ces deux points a et b, on calcul le discriminant grâce à la formule ∆ = b²-4ac ce qui donne ∆ = (2)² - 4*(-1)*1 = 8 et que √∆ = 2√2 et ensuite on remplace dans les formules x(a) = (-b + √∆)/2a et x(b) = (-b - √∆)/2a. Ce qui nous donne (-2+2√2)/-2 et (-2-2√2)/-2 (On ne pourrait pas simplifier par -2 par hasard ?!) Ensuite pour l'étude du signe de f', on dit simplement que le dénominateur est toujours positif, donc on étudie le signe du polynôme. Et comme f'<0 pour -2√2<x<2√2, alors on fais le table de signe de f'(x) ?
b) Là, je n'en ai aucunes idées...
3) Ceci n'est pas compliqué!
4)a) et b), je n'en ai aucunes idées non plus...

Merci d'avance & bonne soirée! :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux recalculer ta dérivée ? ce n'est pas \(-2\lambda\,x\) à la place de \(2\lambda\,x\) ?
Les racines changent donc mais tu dois pouvoir simplifier par 2...

[Emeline]

1) Très bien, et ainsi pour la dérivée on trouve (-x²-2λx+1)/(x²+1)²
Mais pour le calcul du discriminant, λ me pose problème...
Car ∆=b² - 4ac soit ∆=(-2λ)² - (-4) = 4λ + 4. Mais pour √∆ ? On dit simplement que c'est égal à √(4λ+4) ?
Et ainsi pour les racines on trouverait x(a) = (-2λ + √(4λ+4))/-2 soit λ + √(4λ+4) et x(b) = (-2λ - √(4λ+4))/-2 soit √(4λ-4)) ? Mais est-ce vraiment nécessaire d'ensuite faire un tableau de signe pour étudier le signe de f' sachant qu'un polynome est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur des racines? Donc il serait négatif ?

Pourriez-vous également m'éclaircir un peu sur les autres questions ?

Merci d'avance, et bonne journée!

[sos-math(21)]

Attention à tes calculs !

\(\Delta=4\lambda^2+4=4(\lambda^2+1)>0\) donc il y a deux racines : \(\frac{2\lambda-2\sqrt{\lambda^2+1}}{-2}\) qui vaut \(-\lambda+\sqrt{\lambda^2+1}\),
de même on a l'autre racine \(-\lambda-\sqrt{\lambda^2+1}\)
quelle que soit la valeur de \(\lambda\), le plus petit est \(a=-\lambda-\sqrt{\lambda^2+1}\) et le plus grand est \(b=-\lambda+\sqrt{\lambda^2+1}\), ce seront aussi tes m\(\lambda\) et tes \(M\lambda\)
calcule l'image de a et b en remplaçant par leurs expressions dans f(x), tu auras ensuite

[Emeline]

Merci beaucoup, mais j'ai encore des difficultés pour les calcules du 2)b) ...
On doit donc calculer f[λ+√(λ²+1)] = et f[λ-√(λ²+1)] ?
Mais les calcules semblent vraiment difficiles!! :S

Pour f[λ+√(λ²+1)] = ([λ+√(λ²+1)]+λ)/([λ+√(λ²+1)]²+1) ...
Ce qui pourrait donner [2λ+√(λ²+1)] / [λ²+2λ√(λ²+1)+1]
Je me perd dans mes calcules et je n'arrive pas à m'en sortir... & surtout, je ne vois pas comment faire pour retrouver... 1/2a ...


J'ai aussi un petit problème pour la 3) ... En faite, pour le tableau de variation, je n'arrive pas à savoir comment faire pour calculer les limites des racines afin de les mettre dans les bornes du tableau... Mais après réflexion, je suppose que c'est ce qu'on me demande dans la question 4)b) non ? Mais je ne vois pas à quoi cela pourrait correspondre...


Ensuite, petite question pour la 4°)a)... mλ et Mλ correspondent aux racines, c'est à dire que mλ = [λ+√(λ²+1)] et Mλ = [λ-√(λ²+1)] ?

Merci d'avance! :)

[Emeline]

Pardon, je me suis trompée! c'est [-λ+√(λ²+1)] !!!
Donc, pour f[-λ+√(λ²+1)] = ([-λ+√(λ²+1)]+λ)/([-λ+√(λ²+1)]²+1) ...
Ce qui pourrait donner [√(λ²+1)] / [λ²+2λ√(λ²+1)+1] et on pourrait simplifier par √(λ²+1) donc f = 1/(λ²+2λ+1)
Je me perd dans mes calcules et je n'arrive pas à m'en sortir... & surtout, je ne vois pas comment faire pour retrouver... 1/2a ...

[sos-math(21)]

Bonjour,
sans rentrer dans l'explicitation des racines on sait que a est racine de \(-x^2-2\lambda\,x+1=0\),
pour prouver l'égalité, je mets tout dans le même membre et je prouve qu'il vaut zéro (technique très utilisée en maths : on regarde la différence
donc quand on fait \(f(a)-\frac{1}{2a}=\frac{a+\lambda}{a^2+1}-\frac{1}{2a}=\frac{(a+\lambda)\times2a-a^2-1}{2a(a^2+1)}=\frac{a^2+2\lambda\,a-1}{2a(a^2+1)}=0\)
car le numérateur est au signe près l'équation vérifiée par a !
Même chose pour b : pas la peine de refaire le calcul puisqu'on utilise que la relation vérifiée par a et b, c'est à dire l'équation.
Bon courage