Complexe - Ensemble de points

[Nami]

Bonjour, voici mon problème :

M est un point d'affixe \(z=e^{i\theta}\), avec \(\theta\) quelconque. On associe à tout point M le pont M' d'affixe \(z'=\frac{1+i}{z}-2i\)

1) Quel l'ensemble E des points M ?

=> C'est le cercle C de centre O et de rayon OM = 1

2) Exprimer \(z'\) en fonction de \(\theta\)
J'ai remplacé \(z\) dans l'expression du dessus par son expression algébrique, ce qui donne :
\(z'=\frac{1+i}{1+i}-2i \Leftrightarrow z'=1-2i\)

Mais là je ne sais pas quoi faire pour trouver \(\theta\)

Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Je ne comprends pas ton résultat.
Peux tu détailler un peu plus tes calculs ?
Merci.

sosmaths

[Nami]

On sait que \(z=e^{i\theta}=1+i\) et on remplace \(z\) dans cet expression \(z'=\frac{1+i}{z}-2i\) ce qui donne \(z'=1-2i\), non ?

[sos-math(21)]

Je ne suis pas d'accord avec l'égalité \(z=e^{i\theta}=1+i\) : \(e^{i\theta}\) est une écriture générale de l'affixe d'un point alors que le complexe 1+i est l'affixe de A(1,1).
moi je commencerais par écrire \(1+i\,et\, 2i\) sous forme exponentielle, puis je calculerais en cherchant à arranger l'expression.

[Nami]

Bonsoir.
Ah oui, j'ai fait une confusion.
Donc je reprends : \(1+i=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4}))=e^{i\frac{\pi}{4}\)
\(-2i=2(0-i1)=2(cos(\frac{3\pi}{2})+isin(\frac{3\pi}{2}))=e^{i\frac{3\pi}{2}}\)
Je remplace dans l'expression :
\(z'=\frac{e^{i\frac{\pi}{4}}}{e^{i\theta}}-e^{i\frac{3\pi}{2}}\)
\(z'=e^{i(\frac{\pi}{4} - \theta)} + e^{i\frac{3\pi}{2}}\)

Mais là je suis bloqué.

Merci.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Attention, tu as perdu le module de tes complexes :
\(1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
\(-2i=2e^{i\frac{3\pi}{2}}\),
donc ensuite tu remplaces dans ton expression et tu auras bien l'expression de \(z'\) en fonction de \(\theta\).
Après, que dois-tu en faire ?

[Invité]

En effet,
\(z'=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4} - \theta)} + 2e^{i\frac{3\pi}{2}}\)
\(z'=\sqrt{2}(e^{i(\frac{\pi}{4} - \theta)} + \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{2}})\)

Ensuite je dois déduire la nature de l'ensemble F des points M'. Mais je ne vois pas comment débuter.

[sos-math(21)]

Bonjour,
es-tu sûre de ton énoncé ? Que sais-tu sur les complexes et les transformations géométriques ?

[Nami]

L'énoncé j'en suis sûre, il est devant moi.
Quant au transformation on en a vu 3 : translation \(z=z+b\), rotation\(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\) et homothétie \(z'-\omega=k(z-\omega)\). Mais aucune de ces transformations ne collent avec la forme que je viens d'obtenir ci dessus.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Nami,

Je prend la suite des échanges, je suis d'accord avec \(z^,=(1+i)e^{-i\theta}-2i\) avec ou sans forme exponentielle de 1+i et 2i.
Si on décompose :
- tu sais passer de \(e^{i\theta}\) à \(e^{-i\theta}\) par une transformation connue, puis
- tu sais passer de \(e^{-i\theta}\) à \(\sqrt{2}e^{-i\theta}\) par une transformation que tu as apprise dernièrement, puis
- tu sais passer de \(\sqrt{2}e^{-i\theta}\) à \(e^{i\frac{\pi}{4}}\sqrt{2}e^{-i\theta}\) par une transformation que tu as apprise dernièrement, puis
- tu connais la transformation qui permet de passer de \(e^{i\frac{\pi}{4}}\sqrt{2}e^{-i\theta}\) à \(e^{i\frac{\pi}{4}}\sqrt{2}e^{-i\theta}-2i\).
Que devient le cercle de centre O et de rayon 1 dans chacune de ces transformations ? Déduis-en de proche en proche l'image du cercle initial.
A la fin tu as l'ensemble des points M'.

Bon courage