A et B sont deux points donnés. On souhaite construire en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas, le point C tel que VectAC = - 1/4 VectAB. Quel est le nombre minimum d’arcs de cercle (ou de cercles) qu’il est nécessaire de tracer ?
Comme il est impossible de construire à la règle seule le milieu d'un segment, il faut au moins un arc de cercle. J'ai réussi à construire avec trois arcs de cercles. Est-ce possible avec 2 ou 1 seul ???
Merci pour votre aide.
Taous
problème ouvert
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Invité
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SoS-Math(5)
Re: problème ouvert
Bonjour Taous
Pour ma part j'obtiens la construction du point C avec 5 cercles.
Mais on peut sans doute faire mieux.
A bientôt
La construction ci-dessous est réalisée avec deux arcs de cercles. C'est mieux que trois.Comme il est impossible de construire à la règle seule le milieu d'un segment, il faut au moins un arc de cercle. J'ai réussi à construire avec trois arcs de cercles
Pour ma part j'obtiens la construction du point C avec 5 cercles.
Mais on peut sans doute faire mieux.
A bientôt
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Invité
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SoS-Math(5)
Bonjour Eric Taous
Je suis impressionné par votre construction en 3 cercles.
Avec cinq cercles ma solution est :
- le cercle c1 de centre B qui passe par A
- le cercle c2 de centre A qui passe par B
permettent de trouver I milieu de AB puis
- le cercle c3 de centre I qui passe par A
- le cercle c4 de centre A qui passe par I
permettent de trouver J milieu de AI puis
- le cercle c5 de centre A qui passe par J
permet de placer le point C.
Quelle est votre solution en 3 cercles ?
Je suis impressionné par votre construction en 3 cercles.
Avec cinq cercles ma solution est :
- le cercle c1 de centre B qui passe par A
- le cercle c2 de centre A qui passe par B
permettent de trouver I milieu de AB puis
- le cercle c3 de centre I qui passe par A
- le cercle c4 de centre A qui passe par I
permettent de trouver J milieu de AI puis
- le cercle c5 de centre A qui passe par J
permet de placer le point C.
Quelle est votre solution en 3 cercles ?
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Invité
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SoS-Math(5)
Vous avez deux possibiités :
- vous détaillez (c'est ce qui va le plus vite)
- vous placez vos images à une adresse quelconque puis vous copiez dans votre message un code du genre de celui ci :A bientôt.
- vous détaillez (c'est ce qui va le plus vite)
- vous placez vos images à une adresse quelconque puis vous copiez dans votre message un code du genre de celui ci :
Code : Tout sélectionner
[url]http://mon_serveur/mon_dossier/ma_figure.gif[/url]-
Invité
je n'arrive pas à copier l'image.
Je vais bien revoir ma construction avec 3 cercles avant de vous l'envoyer (dans tous les cas, je suis sûr de ma construction avec 4 cercles :
premier cercle : cercle de centre A et de rayon AB qui coupe (AB) en K
deuxième cercle : cercle de centre K et de rayon KA
les deux cercles précédents se coupent en I et J et (IJ) coupe (AB) en H
Il ne reste plus ,à l'aide de deux autres cercles, qu'à tracer la médiatrice de [HA] qui va couper [HA] en le point C cherché.)
Par contre, je viens de trouver un théorème qui dit la chose suivante (merci de confirmer ou non sa validité), auquel cas il existerait bien une construction avec un seul cercle :
tout point constructible à la règle et au compas dans le plan est constructible à la règle seulement à condition de se donner un cercle initial fixé.
Encore merci
Eric
Je vais bien revoir ma construction avec 3 cercles avant de vous l'envoyer (dans tous les cas, je suis sûr de ma construction avec 4 cercles :
premier cercle : cercle de centre A et de rayon AB qui coupe (AB) en K
deuxième cercle : cercle de centre K et de rayon KA
les deux cercles précédents se coupent en I et J et (IJ) coupe (AB) en H
Il ne reste plus ,à l'aide de deux autres cercles, qu'à tracer la médiatrice de [HA] qui va couper [HA] en le point C cherché.)
Par contre, je viens de trouver un théorème qui dit la chose suivante (merci de confirmer ou non sa validité), auquel cas il existerait bien une construction avec un seul cercle :
tout point constructible à la règle et au compas dans le plan est constructible à la règle seulement à condition de se donner un cercle initial fixé.
Encore merci
Eric
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SoS-Math(5)
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Invité
Je viens de trouver le nom de ce théorème :
(de Poncelet-Steiner)
voir http://mathworld.wolfram.com/Poncelet-S ... eorem.html
alors il s'agit de réussir à n'utiliser qu'un cercle et son centre.
Plusieurs jours de recherches infructueux. Je désespère (mon prof n'a pas la solution non plus et ne connaissait pas ce théorème, je lui est demandé ) mais j'aimerais tellement avancer .... pour mon plaisir personnel.
Mon espoir repose sur votre grande expérience mathématique.
Cordialement, Eric
(de Poncelet-Steiner)
voir http://mathworld.wolfram.com/Poncelet-S ... eorem.html
alors il s'agit de réussir à n'utiliser qu'un cercle et son centre.
Plusieurs jours de recherches infructueux. Je désespère (mon prof n'a pas la solution non plus et ne connaissait pas ce théorème, je lui est demandé ) mais j'aimerais tellement avancer .... pour mon plaisir personnel.
Mon espoir repose sur votre grande expérience mathématique.
Cordialement, Eric
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SoS-Math(5)
Bonjour Eric
Je vois que vous vous documentez très sérieusement sur le sujet.
Votre professeur doit être très satisfait de votre travail.
En 1S, il arrive parfois que l'on voie des élèves moins chercheurs que vous.
J'attends votre construction en 3 cercles.
Je vois que vous vous documentez très sérieusement sur le sujet.
Votre professeur doit être très satisfait de votre travail.
En 1S, il arrive parfois que l'on voie des élèves moins chercheurs que vous.
J'attends votre construction en 3 cercles.
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Invité
Le problème avec ma construction avec trois cercles est que j'ai utilisé le fait que la règle possède deux bords parallèles ( ce qui n'est pas permis ) pour tracer la parallèle à une droite donnée passant par un point donné ce qui m'a évité l'utilisation du compas.
Si le segment AB est donné, et que l'on se donne un cercle de centre O, je sais qu'on peut construire la parallèle à (AB) passant par O avec la règle seule. Pourriez-vous m'indiquer comment m'y prendre juste avec la règle (j'arrive à tracer la parallèle en en point donné à 2 droites parallèles mais je n'y arrive pas dans ce cas).
En y arrivant, je pourrais poursuivre pour trouver le milieu de [AB] (là, je sais comment faire, je pourrai vous le détailler) puis il s'agira avec une méthode similaire de construire le milieu de [AI] et enfin trouver une méthode pour avoir le symétrique de ce point par rapport à A.
Et même sans cette dernière méthode, nous en serions à deux cercles utilisés.
Merci dans l'attente de votre aide.
Si le segment AB est donné, et que l'on se donne un cercle de centre O, je sais qu'on peut construire la parallèle à (AB) passant par O avec la règle seule. Pourriez-vous m'indiquer comment m'y prendre juste avec la règle (j'arrive à tracer la parallèle en en point donné à 2 droites parallèles mais je n'y arrive pas dans ce cas).
En y arrivant, je pourrais poursuivre pour trouver le milieu de [AB] (là, je sais comment faire, je pourrai vous le détailler) puis il s'agira avec une méthode similaire de construire le milieu de [AI] et enfin trouver une méthode pour avoir le symétrique de ce point par rapport à A.
Et même sans cette dernière méthode, nous en serions à deux cercles utilisés.
Merci dans l'attente de votre aide.
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SoS-Math(5)
Bonjour Eric Taous
Remarque : \(A_1B_1A_2B_2\) est bien-entendu un rectangle (il y a une déformation à l'écran).
A bientôt.
Je suis au regret, mais je ne parviens pas à construire la droite (rouge) parallèle à AB passant par O (voir figure ci-dessous).Si le segment AB est donné, et que l'on se donne un cercle de centre O, je sais qu'on peut construire la parallèle à (AB) passant par O avec la règle seule. Pourriez-vous m'indiquer comment m'y prendre juste avec la règle
Remarque : \(A_1B_1A_2B_2\) est bien-entendu un rectangle (il y a une déformation à l'écran).
Je ne vois pas comment vous tracez la parallèle à une droite donnée passant par un point donné avec seulement une règle (non graduée).J'arrive à tracer la parallèle en en point donné à 2 droites parallèles mais je n'y arrive pas dans ce cas.
A bientôt.
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SoS-Math(5)
Bonjour Eric Taous
Quelle chance a votre professeur en classe de 1ère, en effet vous avez de très bonnes lectures !
En revanche, je disais dans mon précédent message :
Et cela montre la différence entre :
- construire la parallèle à une droite passant par un point donné
- construire la parallèle à deux droites parallèles par un point donné
Bon courage ... sans utiliser la règle à bords parallèles (comme vous avez bien voulu le remarquer dans votre message posté le 05 Mars 2008 à 12:01).
Quelle chance a votre professeur en classe de 1ère, en effet vous avez de très bonnes lectures !
En revanche, je disais dans mon précédent message :
et cela est confirmé dans l'article dont vous m'envoyez l'adresse :Je ne vois pas comment vous tracez la parallèle à une droite donnée passant par un point donné avec seulement une règle (non graduée).
Il faudra donc que vous trouviez autre chose.Il est démontré qu'il est impossible avec une règle seulement de (...) mener par un point une parallèle à une droite
Et cela montre la différence entre :
- construire la parallèle à une droite passant par un point donné
- construire la parallèle à deux droites parallèles par un point donné
Bon courage ... sans utiliser la règle à bords parallèles (comme vous avez bien voulu le remarquer dans votre message posté le 05 Mars 2008 à 12:01).
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Invité
Voilà une solution que je vous soumets, qu'en pensez-vous, l'objectif est-il atteint ?
On a deux points A et B;
On trace la demi-droite [BA) à l'aide de la règle non graduée,
et on trace le cercle (C) de centre O placé sur [BA) et de rayon AB.
Le centre du cercle s'obtient facilement, il suffit de prendre comme écartement , à l'aide du compas la longueur [AB],
puis de déplacer la pointe du compas sur la demi-droite [BA), jusqu'à passer par le point A.
On trace ainsi le point O.
Le cercle (C) tracé coupe [BA) en A et P.
On trace les tangentes au cercle passant par B, elles sont tangentes en E et D.
On utilise pour cela la règle non graduée, qu'on déplace de sorte à avoir un seul point d' intersection avec le cercle (C).
(EA) coupe [DB] en L;
(DA) coupe [EB] en K;
(DO) coupe [PE] en G;
(EO) coupe [PD] en F.
[GK] coupe [EA] en M;
[FL] coupe [DA] en N et enfin [MN] coupe [OA] en C qui répond à la question.
On a deux points A et B;
On trace la demi-droite [BA) à l'aide de la règle non graduée,
et on trace le cercle (C) de centre O placé sur [BA) et de rayon AB.
Le centre du cercle s'obtient facilement, il suffit de prendre comme écartement , à l'aide du compas la longueur [AB],
puis de déplacer la pointe du compas sur la demi-droite [BA), jusqu'à passer par le point A.
On trace ainsi le point O.
Le cercle (C) tracé coupe [BA) en A et P.
On trace les tangentes au cercle passant par B, elles sont tangentes en E et D.
On utilise pour cela la règle non graduée, qu'on déplace de sorte à avoir un seul point d' intersection avec le cercle (C).
(EA) coupe [DB] en L;
(DA) coupe [EB] en K;
(DO) coupe [PE] en G;
(EO) coupe [PD] en F.
[GK] coupe [EA] en M;
[FL] coupe [DA] en N et enfin [MN] coupe [OA] en C qui répond à la question.