Démonstration par récurrence

[Nikita]

Bonjour, j'ai une démonstration à faire mais je bloque à la dernière partie alors un peu d'aide serait la bienvenue:

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

J'essaye de faire une récurrence mais je n'arrive pas à la finir:
soit pour tout n non nul, la propriété P(n): 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).
-P(1)=2. Donc P(1) est vraie.
-Supposons que pour un entier naturel n quelconque, P(n) soit vraie alors: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) donc:
1*2+2*3+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)= \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) +(n+1)(n+2)
=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) + \(\frac{3(n+1)(n+2)}{3}\)

Et là je n'arrive pas à transformer ça pour avoir \(\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\). J'ai même essayé de développer les deux séparément mais bizarrement je ne trouve pas le même résultat, j'ai un 3n en trop.

Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Tu as fait le plus difficile ! Tu es arrivée à \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\). Mets ton résultat sous forme d'une unique fraction et factorise le numérateur.
\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}\)

Je te laisse factoriser et avoir le plaisir de démontrer ta propriété.

Bonne continuation.

[Nikita]

Bonjour,
Ah c'était tout bête en fait...
Mais est-ce-que vous pourriez m'aider pour un autre exercice s'il vous plaît ? :)
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ouvert -4;+00 par f(x)=\(\frac{2x+3}{x+4}\), de courbe représentative C(f) et (Un) la suite définie par U(0)=0 et U(n+1)=f(Un).
1.a) Etudier les variations de f.
b)démontrer que quelque soit x \(\in\) [0;1], f(x) \(\in\) [0;1]
c)Démontrer que C(f) admet deux asymptotes.
2.a)Démontrer que pour tout entier naturel n: U(n) \(\in\) [0;1].

Alors la première question je l'ai faite mais ensuite pour les autres voilà ce que j'ai:
1.b) Si 0 \(\leq\) x \(\leq\) 1
0 \(\leq\) 2x \(\leq\) 2
3 \(\leq\) 2x+3 \(\leq\) 5
\(\frac{3}{x+4}\) \(\leq\) f(x) \(\leq\) \(\frac{5}{x+4}\). Donc c'est faux mais je vois pas d'autre méthode.
1.c) Là j'ai trouvé une asymptote en factorisant le numérateur: x+(2/3) mais je n'arrive pas à trouver le deuxième.
2.a) Et là il faut appliquer la même méthode que pour la 1.b) ?

Même un tout petit coup de pouce m'aiderait parce-que l'exercice est très long.Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu es en terminale n'est-ce pas ? N'as tu pas vu un théorème surpuissant pour définir un intervalle image ?
Si je te dis théorème des valeurs intermédiaires ? f est une fonction continue, strictement croissante sur un intervalle [a;b], alors définit une bijection de [a,b] sur [f(a);f(b)]
Si tu ne connais pas, il faudra qu'on essaie autre chose mais si tu connais exploite le.
Pour l'asymptote, regarde au voisinage de -4, et au voisinage de \(+\infty\) : on a une asymptote verticale et une asymptote horizontale (je ne sais pas comment tu as fait pour trouver x+(2/3).
Pour \(u_n\in[0,1]\), le plus propre est une récurrence : initialisation immédiate et pour l'hérédité, effectivement tu utilise la question d'avant
Bon courage

[Nikita]

Bonjour,

Oui j'ai bien un théorème des valeurs intermédiaires: "Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au mois un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k." Mais on a vu aucun exemple d'utilisation de ce théorème alors peut-être que vous pourriez me l'expliquer? Qu'est-ce qu'une bijection?

Pour les asymptotes je me suis trompée x+(2/3) est en fait une tangente...alors on a une asymptote horizontale: y=3 (ou 2?) et une verticale x= -4. C'est ça ?

Pour la question 2.a) on pose la propriété P(n):U(n)\(\in\) [0;1]?

Merci de m'avoir répondu.

[sos-math(21)]

Bon
je pense que le mot bijection est un peu prématuré, je ne veux pas t'embrouiller d'autant que cela ne doit pas être ce que ton prof attend...
si x est entre 0 et 1 alors clairement \(\frac{2x+3}{x+4}\geq0\).
Pour prouver ensuite \(\frac{2x+3}{x+4}\leq1\), calcule \(\frac{2x+3}{x+4}-1\) et détermine le signe de cette expression .
Pour la propriété par récurrence, cela semble bon

[Nikita]

Bonjour,
j'ai réussi la question 1.a) grâce à vos indications mais je n'arrive pas à faire la 2.a)

Vous m'avez dit de faire une récurrence mais je n'y arrive pas:

Soit pour tout entier naturel n, la propriété P(n): "U(n) \(\in\) [0;1]"
U(o)=0 donc P(0) est vraie.
Supposons que pour un entier naturel n quelconque, P(n) soit vraie alors:
0\(\geq\) U(n) \(\geq\) 1
Et là quand je veux passer à U(n+1) le 1 qui est à droite se transforme en 2 donc c'est faux puisque je n'ai plus le même intervalle :/
A moins qu'on puisse faire comme ça: 0 \(\geq\) U(n) \(\geq\) 1
0\(\geq\) 2U(n) \(\geq\) 1 \(\geq\) 2
0\(\geq\)3\(\geq\) 2U(n)+3\(\geq\)1\(\geq\)5 ???
Mais je ne pense pas que ce soit ça...

[sos-math(21)]

tu sais que si \(x\in[0,1]\) alors \(f(x)\in[0,1]\) donc si on suppose que \(u_n\in[0,1]\), alors la propriété vue sur \(f\), nous permet de dire que \(u_{n+1}=f(u_n)\in[0,1]\) donc on a l'hérédité....

[Nikita]

Bonsoir,
Ah d'accord, merci.
Je pensais qu'il fallait refaire la démonstration mais pas comme dans la question précédente.
Bref merci beaucoup.

[sos-math(21)]

c'est très important de comprendre qu'un exercice de mathématiques suit une logique implacable : les résultats des questions précédentes servent très souvent aux questions suivantes. Ici, il s'agit bien d'exploiter les infos sur f pour faire fonctionner la récurrence.
Bon courage