DM sur les complexes

[cedric08]

Bonjour, voila j'ai ce dm a faire et je bloque sur un exercice.

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct et A le point d'affixe 4
On note d la droite d'équation x=4 privé du point A
A tout point M différent de A d'affixe z on associe le point M' d'affixe z' vérifiant: z'=(z-4)/(4-z)

1a)Soit B le point d'affixe 1+3i.
Calculer l'affixe du point B' associé a B

1b)Soit x un nombre réel différent de 4.On note R le point d'affixe x
Calculer l'affixe du point R' associé au point R

1c)Soit y un nombre réel non nul.On note S le point d'affixe 4+iy
Calculer l'affixe du point S' associé au point S

1d)Démontrer que z'=1 si et seulement si M appartient a d


2)Soit M un point n'appartenant pas à d, on se propose de déterminer une méthode de construction du point M' connaissant le point M

a)Démontrer que pour tout nombre complexe z n'est pas égal a 4 , on a |z'|=1

b)Démontrer que pour tout nombre complexe z n'est pas égal a 4 , on a (z'-1)/(z-4) appartient a R

c)Montrer que la droite(S'M') est bien définie et parallèle a la droite (AM)

3)Déduire des question 2a et 2b une construction géométrique du point M' connaissant le point M.


Voila en espérant que vous pourrez m'aider merci

[sos-math(22)]

Bonsoir Cédric,
Il ne faut pas t'attendre à ce que l'on fasse ton dm à ta place ; ce n'est absolument pas notre rôle...
En revanche, nous pouvons t'aider et répondre des questions précises, si tu fais état de tes recherches.
Bon courage.

[cedric08]

Oui je sais pour les question 1 je ne comprend pas ce que signifie associé mais sinon je pense qu'on calcule (1+3i-4)/(4-z) et on obtient l'affixe de B'


et j'ai un probleme pour le z du dénominateur il y a une barre dessus que signifie t'elle

[sos-math(22)]

Le point B' est associé à B tout comme le point M' est associé à M.
Tu remplaces effectivement z par 1+3i mais dans toute l'expression ; pas seulement au numérateur.
Bon courage.

[sos-math(22)]

D'autre part, s'il y a une barre sur z cela signifie que l'on considère le conjugué de z.
Regarde ton cours pour savoir ce que cela signifie exactement.

[cedric08]

merci

[cedric08]

bonjour
Alors pour le 1a) après développement je trouve 18i/18 donc i ce qui nous donne 1i donc B'(0;1).
Et pour le 1b) je trouve R'=(-x^2-16)/(16-x^2) donc partie réelle -16/(16-x^2)
et partie imaginaire -x^2/(16-x^2) Mais je pense pas que cela soit correct.

Pour le 1c) j'ai un problème après multiplication par le conjugué du dénominateur je trouve S'=(4iy+i^2y^2)/(-4iy-i^2y^2)
Puis après simplification S'=(4iy-y^2)/(-4iy+y^2)

En attente d'une réponse merci d'avance

[sos-math(22)]

Cédric,
Es-tu sûr de la définition de z' ; car z'=(z-4)/(4-z)=-1 pour tout z complexe différent de 4.
Merci de corriger pour que je puisse vérifier tes résultats.

[sos-math(22)]

Cédric,
La question 1) a) est juste.

En revanche, pour la question 1)b), si x est un nombre réel alors le conjugué de x est égal à x lui-même ; par conséquent tu peux facilement calculer x'.

Tu devras trouver que x' est un nombre réel et qu'il ne dépend pas de la valeur de x.

A toi maintenant, bon courage.

[sos-math(22)]

Cédric,

Enfin, pour la question 1) c), le résultat que tu trouves me semble bien compliqué...

Il suffit de remplacer z par 4+iy et donc le conjugué de z par 4-iy.

Le calcul se simplifie très facilement.

Bon courage.

[cedric08]

Bonjour,
Pour le 1b) je trouve
z'=(x-4)/(4-X) X= x barre
=(x-4)/(4-x)
=-(4-x)/(4-x)
=-1.

Pour le 1c) je ne sais pas comment débuter le calcul

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je reprends le post en cours de route et je m'interroge comme mon collègue sur ta définition de z', si on voit ce que tu as écrit, on se rend compte que z'=-1 pour tout z différent de 4 (car on peut simplifier) : et alors l'exercice est vide
N'aurais tu pas oublié une barre en bas sur ton dénominateur (ce qui changerait tout...) ?
Revois cela

[cedric08]

oui il y a un zbarre sur le dénominateur

[sos-math(21)]

Cela change tout !
tu as alors \(z'=\frac{z-4}{4-\bar{z}}\) ?
dans le 1c c'est le même travail tu remplaces \(z\) par \(4+iy\) et \(\bar{z}\) par\(4-iy\) et tu essaies de faire un beau calcul

[cedric08]

Bonjour,
Pour le 1b) je trouve
z'=(x-4)/(4-X) X= x barre
=(x-4)/(4-x)
=-(4-x)/(4-x)
=-1.
Est ce correct?

Pour le 1c)
s'=4+(iy-4)(4+iy)/4-(4-iy)(4+iy)
=4+4iy+i^2y^2-16-4iy/4-16+4iy-4iy-i^2y^2
=(-13+y^2)/(-13-y^2)
=(-13+y^2)/-(13+y^2)
=-1
Est ce correct?