hésitation

[lola]

Bonjour j'ai un petit souci.
j'ai à définir pour quelques soient A et (phi) appartenant à R, la fonction dérivée f' de f et sa fonction seconde f'' avec f(x) = A cos((oméga)t+(phi)).
Mon gros problème c'est pour déterminet cette dérivée. Les lettres (phi, oméga et A) me perturbent beaucoup.
Merci d'avance pour cette eclairement.
lola

[sos-math(13)]

Bonjour,

comme tu es en terminale, tu peux utiliser la formule de dérivation des fonctions composées.

Ici, on a 2 fonctions composées, par exemple, en prenant :

\(u(x)=\om{x}+\phi\)
\(v(x)=Acos(x)\)

On recompose \(f(x)=v(u(x))\)

Dont la dérivée donne : \(f'(x)=v'(u(x))\times{u'(x)}\)

Chacune des fonction u et v étant assez simple à dériver (la première est une affine de x, et la seconde une constante fois cos.

Si les lettres te gène, remplace-les par des nombres (7, 11 et 23 par exemple), et effectue ta dérivation sans faire des calculs avec ces nombres. Puis remplace à nouveau ces nombres par des lettres. Peut-être te rendras-tu compte, alors, que tu pouvais de la même manière procéder directement avec les lettres.

Bon courage.

[lola]

Merci beaucoup!!
J'ai tout compris. Cependant on me demande de conjecturer et de démontrer la période de f. Je pense que c'est oméga+t mais je n'en suis pas sure et je ne sais pas démontrer cela.
Cordialement
Lola

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Vous devez trouver un réel T tel que : \(f(x)=Acos(\om{(x+T)}+\phi)=Acos(\om{x}+\phi)\)
or vous savez que\(Acos(\om{x}+\phi+2\pi)=Acos(\om{x}+\phi)\)
Vous pouvez conjecturer une valeur possible pour T
Bon courage

[lola]

Merci beaucoup
J'ai trouvé la période.

[lola]

J'ai continué mon exercice et j'ai une question me demandant de déterminer A et phi qui appartiennent à [0;pi] pour que f soit solution de l'équation différentielle y''=-4y et vérifie les conditions initiales f(0)=(5*2^(1/2)) et f((pi)/8)=0
De plus avec les questions que j'ai faite auparavant je trouve :
f(t)= A (phi) cos ((oméga)t) - A (phi) sin ((oméga) t)
en posant donc a= A (phi) et b= - A (phi)

Le problème c'est que je ne sais pas par où commencer.
Je pense commencer par dire que oméga=2
donc les solutions sont f(t)= a cos (2t) - b sin (2t).
Ensuite vérifier les conditions initiales donc
f(0) = (5*2^(1/2)) / 2 equivaut à a = (5*2^(1/2))/2
pour f((pi)/8) = 0 je trouve au final a = b
mais là je bloque car je doit trouver phi et A.
Or a = phi *A
et je ne sais pas comment faire. J'ai dû soit mal raisonner, ou soit ne pas avoir vue quelque chose.
Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
Excuse moi, je prends le message en route, mais je te pose quelques questions d'ordre général :
as-tu bien exploité les questions précédentes ?
pour les questions sur l'équation différentielle, as-tu une condition sur la dérivée première ?
Merci de me préciser cela en m'envoyant éventuellement l'énoncé complet

[lola]

En effet vous n'avez pas toutes les informations.
Voici l'énoncé complet:
oméga appartient à R et y'' est la dérivée seconde de y, c'est à dire la dérivée de y'.
1) Soient A et phi appartenant à R, déterminer f', la dérivée de f, et f'', la dérivée de f', pour la fonction f avec f(t)= A cos (oméga t+ phi)
En déduire que cette fonction est solution de l'équation différentielle y''=-oméga² y
f est-elle périodique ? Si oui donner sa période en fonction d'oméga.
2) En déduire que f(t) peut s'écrire sous la forme a cos(oméga t) + b sin(oméga t) avec a et b appartiennent à R. On exprimera a et b en fonction de A et phi.
3) Déterminer A et phi qui appartiennent à [0;pi] pour que f soit solution de l'équation différentielle y''=-4y et vérifie les conditions initiales f(0)=(5*2^(1/2)) et f((pi)/8)=0.

1)Je truove au final : f'(t) = A (-oméga sin(oméga t + phi)) et f''(t) = A (-oméga² cos (oméga t + phi)
Elle est donc solution et la période, après une conjecture et un calcul, je trouve T = (2pi)/oméga
2) On utilise la formule cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y
Donc au final : f(t) = A phi cos (oméga t) - A phi sin (oméga t)
Donc a = A phi et b = - A phi
3) C'est à cette question que je bloque
Je pense commencer par dire que oméga=2
donc les solutions sont f(t)= a cos (2t) - b sin (2t).
Ensuite vérifier les conditions initiales donc
f(0) = (5*2^(1/2)) / 2 equivaut à a = (5*2^(1/2))/2
pour f((pi)/8) = 0 je trouve au final a = b
mais là je bloque car je doit trouver phi et A.
Or a = phi *A
et je ne sais pas comment faire. J'ai dû soit mal raisonner, ou soit ne pas avoir vue quelque chose.
Cordialement
Lola

[sos-math(21)]

au départ tu avais f\((t)=A\cos(\omega\,t+\Phi)\), donc \(f(\frac{\pi}{8})=A\cos(\frac{\pi}{4}+\Phi)=0\) donc \(\frac{\pi}{4}+\Phi=\frac{\pi}{2}\) donc \(\Phi=...\)
Après je ne suis pas sûr de tes calculs.
De même pour trouver \(A\), fais parler f(0)=..

[lola]

Bonjour, je ne comprend pas comment vous passez de
f((pi)/8)=A cos ((pi)/4+(phi)) = 0
à (pi)/4 + phi = pi /2
Où sont passés les A, cos et pourquoi est-ce égal à (pi)/2?
Merci d'avance.

[sos-math(21)]

si \(A\cos(\frac{\pi}{4}+\Phi)=0\), lors comme A n'est pas égal à 0 (sinon, on a la fonction nulle, et ce n'est pas le cas car f(0) n'est pas égal à 0).
donc c'est le cosinus qui vaut zéro,
Or, \(\cos\,x=0\) signifie que \(x=\frac{\pi}{2} [\pi]\) : regarde sur ton cercle trigonométrique.
Ainsi sur l'intervalle \([0;\pi]\), on a \(\cos\,x=0\) signifie que \(x=\frac{\pi}{2}\), donc ensuite on a bien \(\frac{\pi}{4}+\Phi=\frac{\pi}{2}\)

[lola]

Merci beaucoup!!
on trouve donc phi = (pi)/4 et A = 5 mais comme A doit aussi appartenir à [0;pi] donc A = 5 - pi?

[sos-math(21)]

tu dois avoir \(f(0)=5\sqrt{2}\), tu as \(A\cos(\frac{\pi}{4})=5\sqrt{2}\), mois je trouverais A=10, mais il y a comme un problème avec tes a et tes b, d'autant plus que A doit être inférieur à pi. Est-ce bien deux infos sur f que tu as ou alors une sur f et l'autre sur f', du genre f(0)=.. et f'(pi/8)=...
Vérifie tes calculs pour ton "milieu" de problème

[lola]

Oui en fait a = A cos (phi) et b = - A sin (phi)

[sos-math(21)]

Oui, cela me semble plus cohérent.
Mais pour A, faut-il bien avoir A dans [0,pi] ? Qu'as tu obtenu comme valeur ?
Il y a quelque chose qui m'échappe....