Asymptotes

[Marie-Ange]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant que je ne comprend pas très bien. Merci.

Énoncé :

Déterminer les éventuelles asymptotes aux courbes représentatives des fonctions :

\(f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}\) et \(g(x)=\frac{x^{2}+3x+3}{x+2}.\)


Je ne vois pas trop comment faire, pour la première fonction, je pense que 2 est une asymptote verticale car au numérateur si on a x=2 ça fait 0. Pour g, c'est la même chose.
Ensuite j'ai fait une division euclidienne pour les deux fonctions pour voir si ils ont une asymptote oblique. f n'en a pas et g en a une : y=x+1.
Mais je ne suis pas sur de ma démarche.

Merci !

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marie-Ange

Il y a de bonnes réponses mais il en manque et vos méthodes sont pas assez précises.
Pour \(f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}\) , en effet le dénominateur s'annule pour \(x=2\) mais il s'annule pour une autre valeur.
De plus ce n'est pas une raison suffisante pour qu'il y ait une asymptote verticale, il faut vérifier en plus que les limites quand \(x\) tend vers 2 à gauche et à droite sont infinies.
Par exemple \(f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}\), n'est pas définie pour \(x=2\) mais il n'y a pas d'asymptote.
Chercher la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(f\), cela vous donnera une autre asymptote.

Pour \(g(x)=\frac{x^{2}+3x+3}{x+2}\) vous avez donc \(g(x)=x+1+\frac{1}{x+2}\). Il faut en plus démontrer que la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(\frac{1}{x+2}\) est nulle.
Il y a aussi une asymptote verticale.

Bonne continuation

[Marie]

Cf admet deux asymptotes verticales d'équation x=2 et x=-2 car \(\lim_{x \to 2^{+} }f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to2^{-}}f(x)=-\infty\).

C'est cela ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

OK pour les deux asymptotes verticales, il faut aussi pour étudier les limites auprès de la seconde. De plus il y en a une autre, avez-vous cherché les limites en plus ou moins l'infini ?

Bon courage

[Marie]

Bonjour, j'ai une question, comment on trouve la limite quand x tend vers 2 pour f(x) car ça nous fait une forme indéterminée mais je n'arrive pas à la lever...

Merci.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marie,

Tu as une forme indéterminée \(\frac{0}{0}\) quand x tend vers 2, mets \(x-2\) en facteur ua numérateur et au dénominateur, puis simplifie. Ensuite cherche la limite du quotient simplifié, cela doit suffire pour conclure.

Bonne continuation