Devoir maison - Angles et Trigonométrie

[Noëmie]

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre mercredi prochain, je l'ai commencé et je bloque sur la suite de cet exercice. Pourriez-vous m'aider, m'expliquer ce qu'il y a à faire ?
Merci beaucoup d'avance.

maths.jpg (6.05 Kio) Vu 4121 fois

Enoncé :

ABCD est un carré tel que \((\vec{AD};\vec{AB})= \pi /2\)
BIC et CDJ sont des triangles équilatéraux directs.
1°) Dans les triangles isocèles, ADJ, ABI et DCI, donner la mesure principale des angles orientés : \((\vec{DJ};\vec{DA})\) , \((\vec{BA};\vec{BI})\) , \((\vec{CI};\vec{CD})\)
En déduire la mesure principale des angles à la base de ces triangles, pris dans le sens direct.
2°)a) Déterminer la mesure principale de \((\vec{IA};\vec{ID})\).
b) En déduire la mesure principale de \((\vec{AD};(\vec{AI})\).
3°) Comparer avec la mesure de \((\vec{AD};\vec{AJ})\) trouvée dans la question 1°
Qu'en déduit-on pour les points A, I et J ?

Exercice :

1°)
Pour \((\vec{DJ}; \vec{DA})\) :
On sait que \(\hat{ADC}= \pi /2\)et \(\hat{CDJ}= \pi /3\)
\(\pi /2+\pi /3=(3\pi +2\pi )/6=5\pi /6\)
La mesure principale de \((\vec{DJ}; \vec{DA})\) est de \(5\pi /6\)

Pour \((\vec{BA}; \vec{BI})\) :
On sait qu'un angle droit vaut \(\pi /2\) et qu'un angle d'un triangle équilatéral vaut \(\pi /3\).
\(\pi /2 -\pi /3=(3\pi -2\pi )/6= \pi /6\)
La mesure principale de \((\vec{BA}; \vec{BI})\) est de \(\pi /6\).

Pour \((\vec{BA}; \vec{BI})\) :
On sait qu'un angle droit vaut\(\pi /2\) et qu'un angle d'un triangle équilatéral vaut \(\pi /3\).
\(\pi /2 -\pi /3=(3\pi -2\pi )/6= \pi /6\)
La mesure principale de \((\vec{BA}; \vec{BI})\) est de \(\pi /6\).

Et là je bloque pour la suite de l'exercice, je n'arrive pas à trouver comment faire pour avoir la mesure des angles à la base des triangles, et ce n'est pas faute d'avoir essayer.

Merci pour votre aide

[SoS-Math(2)]

Bonjour Noëmie,
c'est tout simple, il faut vous rappeler que la somme des angles d'un triangle vaut 180° ou pi radians.
Vous connaissez un des angles et les deux autres sont égaux donc...
Bon courage

[Noëmie]

Le début est correct ?

Donc pour la suite ca fait :

On sait que dans le triangle ABI, \(\hat{B}=\pi/6\). Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut \(\pi\). les deux autres angles sont égaux puisque ABI est un triangle isocèle en B. Donc \(\pi-\pi/6=6\pi/6-\pi/6=(5\pi/6)/2=(5\pi/6)/(2/1)=(5\pi/6)*(1/2)=5\pi/12\).
Les angles \(\hat{BAI}\) et \(\hat{AIB}\) valent donc tout les deux : \(5\pi/12\)

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Noémie,

Le résultat semble juste.
Cependant : \(\pi{}-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{5\pi}{6}/2\) Il faut être rigoureux dans la rédaction pour éviter les erreurs !

SoSMath.

[Noëmie]

Je ne vois pas où j'ai fais cette erreur.
Pouvez-vous continuer de m'expliquer l'exercice ?

[SoS-Math(9)]

Tu as écrit dans le message précédent :
"\(\pi-\pi/6=6\pi/6-\pi/6=(5\pi/6)/2=(5\pi/6)/(2/1)=(5\pi/6)*(1/2)=5\pi/12\)"

soit (en supprimant tout le détail des calculs) \(\pi-\pi/6=5\pi/12\) ce qui faux !!!

SoSMath.

[Noëmie]

Je ne sais pas comment faire pour la deuxième partie de la 1°) alors ...

En déduire la mesure principale des angles à la base de ces triangles, pris dans le sens direct.

[SoS-Math(9)]

Noémie,
Regarde dans ton cours (ou ton livre) la définition de la mesure principale d'un angle.
De plus le sens direct est le sens positif.

SoSMath.

[Noëmie]

Oui, je sais ce que ca veut dire, mais c'est la démonstration qui me bloque, je sais pas comment faire si c'est pas ce que je vous ai m

"\(\pi-\pi/6=6\pi/6-\pi/6=(5\pi/6)/2=(5\pi/6)/(2/1)=(5\pi/6)*(1/2)=5\pi/12\)"
soit (en supprimant tout le détail des calculs) \(\pi-\pi/6=5\pi/12\) ce qui faux !!!

is

[SoS-Math(9)]

Noémie,

Il me semble t'avoir dit que ta réponse était juste !
C'est seulement ce que tu as écrit qui est incorrecte !
On a : \(2\times{}(\vec{AI};\vec{AB})=\pi-\pi/6=6\pi/6-\pi/6=5\pi/6\)
puis \((\vec{AI};\vec{AB})=(5\pi/6)/2=(5\pi/6)/(2/1)=(5\pi/6)*(1/2)=5\pi/12\).

SoSMath.

[Noëmie]

Donc

On sait que dans le triangle ABI, \(\hat{B}=\pi/6\) car \(\hat{CBA}=\pi/2\) et \(\hat{CBI}=\pi/3\) \((\pi/2-\pi/3=\pi/6)\). Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut \(\pi\). Les deux angles à la base sont égaux puisque ABI est un triangle isocèle en B. Donc \((\vec{AI};\vec{AB})=(\vec{IB};\vec{IA})\).
Donc 2*\((\vec{AI};\vec{AB})=\pi-\pi/6=6\pi/6-\pi/6=5\pi/6\). Et \((\vec{AI};\vec{AB})=(\vec{IB};\vec{IA})=(5\pi/6)/2=(5\pi/6)/(2/1)=5\pi/6*1/2=5\pi/12\)
La mesure principale des angles à la base du triangle ABI est \(5\pi/12\).


On sait que dans le triangle DCI, \(\hat{C}\) vaut \(\pi/6\) car \(\hat{DCB}=\pi/2\) et \(\hat{ICB}=\pi/3\) \((\pi/2-\pi/3=\pi/6)\). Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut \(\pi\). les deux angles à la base sont égaux puisque DCI est un triangle isocèle en C.
Donc \((\vec{DC};\vec{DI})=(\vec{ID};\vec{IC} )\). Donc 2*\((\vec{DC};\vec{DI})=\pi-\pi/6=6\pi/6-\pi/6=5\pi/6\). Et \((\vec{DC};\vec{DI})=(\vec{ID};\vec{IC})=(5\pi/6)/2=(5\pi/6)/(2/1)=5\pi/6*1/2=5\pi/12\).
La mesure principale des angles à la base du triangle DCI est \(5\pi/12\).


On sait que dans le triangle ADJ, \(\hat{D}=5\pi/6\) car \(\hat{ADC}=\pi/2\) et \(\hat{JDC}=\pi/3\) \((\pi/2+\pi/3=5\pi/6)\). Or dans un triangle, la somme des trois angles vaut \(\pi\). Les deux angles à la base sont égaux puisque ADJ est un triangle isocèle en D.
Donc \((\vec{AD};\vec{AJ})=(\vec{JA};\vec{JD})\). Donc 2*\((\vec{AD};\vec{AJ})=\pi-5\pi/6=6\pi/6-5\pi/6=\pi/6\). Et \((\vec{AD};\vec{AJ})=(\vec{JA};\vec{JD})=\(\pi/6)/2=(\pi/6)/(2/1)=\pi/6*1/2=\pi/12\).
La mesure principale des angles à la base du triangle ADJ est \(\pi/12\).


2°)a)

On sait que dans le triangle IAD, \(\hat{A}=\pi/12\). or dans un triangle, la somme des trois angles vaut \(\pi\). Les deux angles à la base (\(\hat{A}\) et \(\hat{D}\)) sont égaux puisque IAD est un triangle isocèle en I.
Donc \(\hat{A}=\hat{D}=\pi/12\). Donc \(\pi/12*2=\pi/6\). Donc \(\pi-\pi/6=6/\pi 6-/\pi 6=5\pi/6\)
La mesure principale de \((\vec{IA};\vec{ID})\) est \(5\pi/6\).

b)

On a démontrer dans la question 1° que dans le triangle ADJ \(\hat{A}=\pi/12\). donc dans le triangle DAI \(\hat{A}=\pi/12\). Donc la mesure principale de \((\vec{AD};\vec{AI})\) est \(\pi/12\).

3°)

\((\vec{AD};\vec{AI})=\pi/12\)
\((\vec{AD};\vec{AJ})=\pi/12\)
Les deux couples de vecteurs sont égaux (ils ont la même mesure principale). On en déduit donc que les points A, I et J sont alignés.

Mon exercice est-il juste depuis le début ?
Merci beaucoup d'avance

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

J'ai lu ta solution et elle semble juste et bien rédigée. ( mon collègue t'a montré une erreur de rédaction que tu as rectifiée )

Par contre, petit rappel : un objectif de Sosmath est d'aider les élèves à faire leur devoir lorsqu'ils sont bloqués à une question, mais sosmaths ne doit pas valider en détail une solution, afin de laisser une responsabilité à l'élève.
Par contre tu peux vérifier tous tes résultats en faisant une belle figure et en mesurant les angles avec un rapporteur. Tu obtiens une mesure en degrés et la conversion en radians est simple puisque pi radians = 180°.
Bonne continuation.
sosmaths