Théorème des valeurs intermédiaires.

[Laura]

Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour jeudi prochain, et je me retrouve bloquer sur quelque chose qui est pourtant plutôt simple apparemment. Voici le sujet:

On considère deux fonctions f et g définies et continues sur un intervalle [a;b] et telles que : f(a)<g(a) et f(b)>g(b).
1.a) Faire un graphique correspondant à ces données.
b) En considérant la fonction h définie sur [a;b] par h(x)= f(x)-g(x), montrer que l'équation f(x)=g(x) a au moins une solution sur ]a;b[
c) Faire un graphique tel que cette équation ait exactement deux solution sur ]a;b[.

2. On suppose dans cette question, f strictement croissante sur [a;b] et g strictement décroissante sur [a;b].
a) Montrer que la fonction h=f-g est strictement croissante sur [a;b].
b) Que peut-on en déduire sur le nombre de solutions l'équation f(x)=g(x)

J'ai fais la 1a, pour la b j'ai montré que h était continue sur [a;b] et que h(a)<0 et h(b)>0
J'ai ensuite appliqué mon théorème des valeurs intermédiaires en l'adaptant :
"h est définie et continue sur [a;b], pour tout nombre k compris entre h(a) et h(b), il existe au moins un réel c compris entre à et b, tel que : f(c)=k
Et alors la...
Je serai tentée de mettre :
On pose : x=c et k=g(x)
Mais je reste un peu sceptique et ne sait pas vraiment comment faire. Soit le prouver graphiquement avec mes courbes tracées arbitrairement à la question 1a ou une autre manière qui pour le moment, m'échappe toujours.

Merci d'avance de vos réponse.
Laura

[SoS-Math(2)]

Bonjour,

j'ai montré que h était continue sur [a;b] et que

h(a)<0 et h(b)>0

J'ai ensuite appliqué mon théorème des valeurs intermédiaires en l'adaptant :
"h est définie et continue sur [a;b], pour tout nombre k compris entre h(a) et h(b), il existe au moins un réel c compris entre à et b, tel que : f(c)=k

La fin ne convient pas: c'est h(c)=k

Appliquez le à k=0 et vous avez la solution puisque vous avez dit que h(a)<0 et h(b)>0

Bon courage

[Laura]

Ah oui exact! Merci !
h(c)=k
Donc, ça me donne :

soit k=0
Alors h(c)=0
f(c)-g(c)=0
f(c)=g(c)
?

Et après je conclue que c est une des solutions?
Pardonnez moi, je suis un peu perdue.

[SoS-Math(2)]

Laura, on ne vous demande pas de donner les solutions mais de montrer qu'il en existe. C'est ce que vous avez fait en disant qu'il existe un réel c tel que ......
Bon courage

[Laura]

2. On suppose dans cette question, f strictement croissante sur [a;b] et g strictement décroissante sur [a;b].
a) Montrer que la fonction h=f-g est strictement croissante sur [a;b].
b) Que peut-on en déduire sur le nombre de solutions l'équation f(x)=g(x)

Re bonjour;
Merci pour vos indications, elles m'ont bien aidées.
Excusez moi de vous déranger à nouveau, j'ai réussis à finir le petit 1 et me suis mise à réfléchir au petit 2.
La seule chose que j'ai "trouvée", c'est que g étant décroissante et f croissante, le rapport f-g devient de plus en plus grand et donc h est croissant.
Mais ça me semble un peu bateau.

Encore merci de prendre le temps de m'aider.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Laura,

Ton raisonnement n'est pas juste !
Il faut considérer f-g comme f+(-g).
Tu connais les variations de g, donc tu peux en déduire celles de (-g).
Il te reste alors à conclure sur les varaitions de f-g.

SoSMath.