Bonjour, je suis en TS et le suis bloqué depuis une semaine sur un Dm pour introduire les fonctions exponentielles à travers la méthode d'Euler. D'après nos hypothèses f(0)=1 et pour tout x réel f '(x)=f(x).
D'après l' approximation affine donnée par le calcul des dérivées (première question que j'ai réussi) f(a+h) est environ égal à f(a)*(1+h).
Mais après on doit montrer que la suite(u n) définie par u(n)=f(a+nh) est géométrique de raison (1+h). J'ai essayé par récurrence, en calculant u(n+1)/u(n) et en tentant d'exprimer u(n+1) en fonction de u(n) mais rien n'aboutit. Pourriez vous m'aider?
Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
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sos-math(21)
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Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Bonjour,
Pouvez-vous nous donner l'énoncé exact des questions ? Que vous dit-on exactement ? Car pour prouver cela à peu près, on peut utiliser le taux d'accroissement
\(f'(a)=\lim_{h\mapsto0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) mais après pour passer à "environ", il faut voir selon le contexte...
Pouvez-vous nous donner l'énoncé exact des questions ? Que vous dit-on exactement ? Car pour prouver cela à peu près, on peut utiliser le taux d'accroissement
\(f'(a)=\lim_{h\mapsto0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) mais après pour passer à "environ", il faut voir selon le contexte...
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Voici l'énoncé exact:
On considère une fonction f dérivable sur R, vérifiant f(0)=1 et pour tout x réel f ' (x)=f(x).
1) Montrer que pour tout réel a et h (h voisin de 0) l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit f(a+h)= f(a)*(1+h). (Ce n'est pas un signe égal mais environ égal que je ne sais pas écrire avec le clavier. J'ai réussit cette question en m'appuyant sur la méthode du cours mais les questions suivantes bloquent)
2)On considère la suite \(\u_{n}\) définie par u(n)=f(a+nh) avec a et h réels fixés, h voisin de 0 et n entier naturel.
3) En déduire que f(1)=\((1+1/n)^{n}\) pour les grandes valeurs de n. Donner le valeur approchée de f(1) correspondant à n=10 000.
On considère une fonction f dérivable sur R, vérifiant f(0)=1 et pour tout x réel f ' (x)=f(x).
1) Montrer que pour tout réel a et h (h voisin de 0) l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit f(a+h)= f(a)*(1+h). (Ce n'est pas un signe égal mais environ égal que je ne sais pas écrire avec le clavier. J'ai réussit cette question en m'appuyant sur la méthode du cours mais les questions suivantes bloquent)
2)On considère la suite \(\u_{n}\) définie par u(n)=f(a+nh) avec a et h réels fixés, h voisin de 0 et n entier naturel.
3) En déduire que f(1)=\((1+1/n)^{n}\) pour les grandes valeurs de n. Donner le valeur approchée de f(1) correspondant à n=10 000.
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sos-math(12)
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Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Bonjour :
S'il vous plait éviter de poster cinq fois le même message.
Merci.
S'il vous plait éviter de poster cinq fois le même message.
Merci.
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Désolé. J'ai envoyé plusieurs fois mon message mais il ne s'affiche pas alors que j'ai besoin d'une aide urgente.
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
J'ai essayé toutes les méthodes mais aucune ne marche. Je ne vois vraiment pas comment faire.
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Voici l'énoncé exact:
On considère une fonction f dérivable sur R, vérifiant f(0)=1 et pour tout x réel f ' (x)=f(x).
1) Montrer que pour tout réel a et h (h voisin de 0) l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit f(a+h)= f(a)*(1+h). (Ce n'est pas un signe égal mais environ égal que je ne sais pas écrire avec le clavier. J'ai réussit cette question en m'appuyant sur la méthode du cours mais les questions suivantes bloquent)
2)On considère la suite u(n) définie par u(n)=f(a+nh) avec a et h réels fixés, h voisin de 0 et n entier naturel.
3) En déduire que f(1)=(1+1/n)^n pour les grandes valeurs de n. Donner le valeur approchée de f(1) correspondant à n=10 000.
On considère une fonction f dérivable sur R, vérifiant f(0)=1 et pour tout x réel f ' (x)=f(x).
1) Montrer que pour tout réel a et h (h voisin de 0) l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit f(a+h)= f(a)*(1+h). (Ce n'est pas un signe égal mais environ égal que je ne sais pas écrire avec le clavier. J'ai réussit cette question en m'appuyant sur la méthode du cours mais les questions suivantes bloquent)
2)On considère la suite u(n) définie par u(n)=f(a+nh) avec a et h réels fixés, h voisin de 0 et n entier naturel.
3) En déduire que f(1)=(1+1/n)^n pour les grandes valeurs de n. Donner le valeur approchée de f(1) correspondant à n=10 000.
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SoS-Math(4)
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Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Bonjour Raphaël,
Tu as établit que f(a+h)=f(a) x (1+h)
soit la formule f(a+nh)=f(a) x ( 1+h)^n ( E)
Par récurrence : n=1 on retrouve la formule déjà établi, donc vraie.
On suppose que c'est vrai pour n=p . f(a+ph)=f(a) x (1+h)^p . On calcule f(a +(p+1)h)= f((a+ph)+h)= f(a+ph) x (1+h)= f(a) x (1+h)^p x (1+h)= f(a) x (1+h)^(p+1)
on a montré l'hérédité.
On a donc montré que la formule (E) est vraie pour tout entier n>=1
Tu peux maintenant démontrer facilement que U est géométrique.
sosmaths
Tu as établit que f(a+h)=f(a) x (1+h)
soit la formule f(a+nh)=f(a) x ( 1+h)^n ( E)
Par récurrence : n=1 on retrouve la formule déjà établi, donc vraie.
On suppose que c'est vrai pour n=p . f(a+ph)=f(a) x (1+h)^p . On calcule f(a +(p+1)h)= f((a+ph)+h)= f(a+ph) x (1+h)= f(a) x (1+h)^p x (1+h)= f(a) x (1+h)^(p+1)
on a montré l'hérédité.
On a donc montré que la formule (E) est vraie pour tout entier n>=1
Tu peux maintenant démontrer facilement que U est géométrique.
sosmaths
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
J'avais déjà essayé cette méthode mais je ne comprends pas comment vous passer de f(a+h)=f(a) x (1+h) soit f(a+nh)=f(a)*(1+nh)
à la formule f(a+nh)=f(a) x ( 1+h)^n .
Vous avez raison après il est très facile de justifier que la suite est géométrique grâce à la récurrence mais pourriez vous m'indiquer le passage de la première à la deuxième expression?
à la formule f(a+nh)=f(a) x ( 1+h)^n .
Vous avez raison après il est très facile de justifier que la suite est géométrique grâce à la récurrence mais pourriez vous m'indiquer le passage de la première à la deuxième expression?
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Merci beaucoup vous êtes génial cette fois j'ai tout compris pour la deuxième question mais je ne vois pas comment exploiter ce résultat pour la question suivante:
3) En déduire que f(1)=(1+1/n)^n pour les grandes valeurs de n. Donner le valeur approchée de f(1) correspondant à n=10 000.
3) En déduire que f(1)=(1+1/n)^n pour les grandes valeurs de n. Donner le valeur approchée de f(1) correspondant à n=10 000.
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Ok, tu as compris le raisonnement par récurrence.
Donc , on a pour tout entier n, f(a+nh) environ égal à f(a) x (1+h)^n
D'autre part , cette approximation est d'autant plus précise que h est proche de zéro. Donc si n est grand , on peut poser h=1/n , alors h est proche de zéro.
Donc on peut dire : quand n est grand, f(a+nh)=f(a+n(1/n))=f(a+1) est très proche de f(a) x ( 1+1/n)^n
Je te laisse réfléchir et terminer.
sosmaths
Donc , on a pour tout entier n, f(a+nh) environ égal à f(a) x (1+h)^n
D'autre part , cette approximation est d'autant plus précise que h est proche de zéro. Donc si n est grand , on peut poser h=1/n , alors h est proche de zéro.
Donc on peut dire : quand n est grand, f(a+nh)=f(a+n(1/n))=f(a+1) est très proche de f(a) x ( 1+1/n)^n
Je te laisse réfléchir et terminer.
sosmaths
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Raphael
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Merci beaucoup j'ai tout compris grâce à vous. Après je dois tracer une approximation affine de (Cf) avec les pas h=0.5 ; h=0.1 ; h=0.01 grâce à l'aide d'un tableur. Or je ne sais pas du tout me servir d'un tableur de type Excel pour tracer une fonction. Connaissez vous un site qui initie au maniement d'Excel pour tracer les fonctions mathématiques avec différents pas?
Bonne soirée.
Bonne soirée.
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SoS-Math(4)
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Non je ne connais pas un site qui expliquerait tout ça.
Mais je pense qu'au lycée, on vous a initié à l'utilisation du tableur. D'autre part dans les livres de terminales, la méthode d'Euler est décrite.
bon courage
sosmaths
Mais je pense qu'au lycée, on vous a initié à l'utilisation du tableur. D'autre part dans les livres de terminales, la méthode d'Euler est décrite.
bon courage
sosmaths
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Arthur
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Je suis désoler de remonter ce sujet mais comme Raphael au départ, je ne comprend pas comment vous passez de f(a+h)=f(a) x (1+h) à f(a+nh)=f(a) x ( 1+h)^n ???
Merci d'avance pour votre aide !
Merci d'avance pour votre aide !
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SoS-Math(2)
- Messages : 2177
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:03
Re: Dm méthode D'Euler fonction exponentielle
Bonjour,
mon collègue explique clairement sa démarche dans un des messages. Les avez-vous tous lu ?
Il s'agit d'un raisonnement par récurrence.
Relisez bien tout
Bon courage
mon collègue explique clairement sa démarche dans un des messages. Les avez-vous tous lu ?
Il s'agit d'un raisonnement par récurrence.
Relisez bien tout
Bon courage