DM spé Math : Divisibilité et Nombre premier

[Rodolphe]

Bonjour a tous, je suis bloqué aujourdh'ui dans un devoir Maison que notre professeur de mathématique nous a donnée Mercredi dernier, nous avons pus faire la question 1, la 2, a mais on seche pour la 2B. La 2 c on y arrive aussi mais pas la 3 en entier... toute notre classe sont blocker
Est-ce que quelqun pourrais nous aider s'il vous plait on vous en saurez tres reconnaissant.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

2°b) Si d divise n, alors il existe un entier k tel que n=dk

alors a^n = a^dk= (a^d)^k

Posons a^d= A alors a^n=A^k donc a^n-1=A^k-1 puis tu factorises en utilisant la question précédente, puis tu continues.

2c)) 2 divise 2010 donc tu peux utiliser le résultat de la question précédente.

3)la suite delta est croissante de manière évidente , il suffit de calculer delta(n)-delta(n-1) pour le constater.

d'après 2) delta(n)=(10^n)-1/(10-1)

si n est composé alors n=pq avec p et q différent de 1. Alors delta(n)=(10^(pq)-1)/9=(A^q-1)/9 en posant A=10^p

Alors delta(n)=(A-1)(1+A+....+A^(q-1))/9

Bon je vous laisse continuer. Pensez que A-1 est un multiple de 9.

sosmaths
.

[Rodolphe]

Merci infiniment on avancera enormement grace a sa merci beaucoup si on a encore un soucis, on vous redemanderons merci =)

[SoS-Math(4)]

ok, bon courage

sosmaths

[rodolphe]

ra*

[Rodolphe]

La 3.a.ii nous n'avons pas réussi à trouver la démonstration.

Nous n'avons également pas compris comment vous trouvez "d'après 2) delta(n)=(10^n)-1/(10-1)"

Merci

[Rodolphe]

Je suis désolé aujourd’hui nous avons répondu à plusieurs question mais on bloque toujours à la 3.a.ii

La 3.a.i nous avons calculé Un+1-Un = 10^n > 0 donc croissante ...

Sinon pour le 2 sa devrait allez sauf que nous avons pas réussi à montrer que 2^2010-1 est divisible par 9 :/

Merci d’avance pour les aides :)

[Arthur]

Bonsoir !

Je ne comprends pas comment vous arrivez à dire que delta(n)=((10^n)-1)/10-1 ?

Merci !

[Arthur]

Bonsoir !

Je ne comprends pas comment vous arrivez à dire que delta(n)=((10^n)-1)/10-1 ?

Merci !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Votre \(\delta_n\) est la somme des \(n\) premiers termes d'une suite géométrique de raison 10 : c'est une formule de cours.
Si \(\delta_n=\frac{10^n-1}{9}\) et si \(n\) est composé, alors il s'écrit \(n=pq\), avec p,q différents de 1 et de n,
donc\(\frac{10^n-1}{9}=\frac{10^{pq}-1}{9}=\frac{(10^p)^q-1}{9}=\frac{10^{p}-1}{9}\times(1+10^2+\ldots+10^{q-1})\) (formule utilisée plus haut avec\(10^{p}-1\) divisible par 9, donc on prouve que \(\delta_n\) est composé car il s'écrit comme un produit "non simple".
Bon courage

[Arthur]

Euh, sans vouloir passer pour des mauvais, on ne connaît pas cette notion de produit non simple.

Pour nous, si on veut prouver que Delta(n) est composé, on veut trouver un produit entre deux diviseurs stricts de Delta(n)...

En résumé, malgré votre réponse, on ne comprend pas.

[Phil]

Bonsoir
Merci pour votre aide, nous avons presque fini, cependant il nous reste quelques questions.
Pour la 2c, nous n'arrivons pas à montrer comment c'est divisible par 9, parce que 2^x=10 n'existe pas (ou alors nous ne l'avons pas encore étudié). Est-ce une erreur d'énoncé ou est-ce là volontairement ?
De plus, je ne comprends pas le terme de produit "non simple", est-ce un produit différent de la forme N= 1*N ?
Enfin, la formule de cours pour les sommes de suite géométrique s'écrit sous la forme de:
premier terme * (1-q^n)/(1-q) avec n le nombres de termes.
Dans ce cas comment peut-on obtenir :
http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/img_ ... 645b66.gif ?
Enfin, comment à la question 3ci j'ai mis pour 11 111, on a n=5, vu que n est un nombre premier on ne peut pas savoir si delta n est premier, est-ce correct ?

Merci encore pour le temps que vous investissez pour nous aider.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
quand je dis produit non simple, c'est juste une façon de parler cela signifie qu'on a pas écrit \(\delta_n=1\times\delta_n\), donc ici, comme on a prouvé :
\(\delta_n=\frac{10^p-1}{9}\times (1+10+\ldots+10^{q-1})\), on a bien écrit \(\delta_n=AB\), avec \(1<A<\delta_n\)
Est-ce plus clair ?

[Arthur]

Oui merci beaucoup !

[sos-math(21)]

Il faut utiliser le résultat, \(a^n-1\) est divisible par \(a^d-1\) pour tout diviseur \(d\) de \(n\).
on sait que \(2010=2\times3\times5\times67\), avec d=2, on divisible par 3, avec d=3, on a divisible par 7, pour d=15, on a divisible par 32767 et à priori par 151, car 32767=7*31*151, pour d=6, on a divisible par 63 donc à priori 9 car 63=7*9.
Bon courage