Utilisation D'une Fonction Auxiliaire .

[Melanie075]

Bonsoir ,

J'ai un exercice a faire mais j'ai bloquée sur la 1 ere question donc je n'ai pas pu faire les suivantes ...

Je vous ecris l'exercice afin que je vous m'aidiez :

Soit f la fonction definie , pour tout réel x different de 1 , par : f(x) = x+1 / x^3 - 1 . On désigne par C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal ( o , i , j ) .

1° Démontrer que , pour tout réel x different de 1 : f ' (x) = P(x) / ( x^3 - 1 )² , où P est une fonction polynome de degré 3 que l'on precisera .

2° Etudier les variations de la fonction P sur R et démontrer que l'équation P(x) = 0 admet une unique solution alpha dont on donnera une valeur approchée a 10 -² près . En déduire le signe de P ( x ) selon les valeurs du réel x .

3° En utilisant les questions précedentes , determiner les variations de la fonction f sur les intervalles où elle est définie .

4°a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A ( 0 ; -1 ) .
b) Préciser la position de C par rapport à la droite T .

5° Démontrer que la courbe C est située en dessous de sa tangente au point d'abscisse -1 .

6° Vérifier les résultats obtenus précédemment en visualisant à la calculatrice la courbe C et les tangentes .

Ps : Pour la question 3 il est aussi demandée de calculer les limites .

Voilà l'enoncé :) Si vous pouviez m'aidez pour les autres questions sa sera encore mieux parce que mon niveau en mathématiques est malheuresement faible ...

Je vous souhaite une bonne soirée , Melanie .

[SoS-Math(1)]

Bonjour Mélanie,
Il faut savoir dériver \(\frac{u}{v}\).
\(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\).
Ici, on posera \(u(x)=x+1\) et \(v(x)=x^3-1\).
A bientôt.

[Melanie]

Bonsoir ,

J'ai donc suivie votre methode est voici ce que j'ai trouver :

--> (1) * ( x^3 -1 ) - ( x +1 ) *( 3x² ) / ( x^3 -1 ) ²
= (x^3 -1 ) - ( x * 3x + 1 * 3x² ) / x^9 + 1
= x^3 - 1 - ( 3x² + 3x² ) / x^9 + 1
= x^3 - 1 + 3x² - 3x² / x^9 +1
= x^3 - 1 / x^9 + 1

Voilà mon resultat Pouvez vous me dire si c'est juste ?

Qu'elle demarche dois-je faire pour les questions suivantes ?

Je vous remercie d'avance .

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Vous avez fait une erreur de calcul.
Je trouve \(f^{\prime}(x)=\frac{-2x^3+3x^2-1}{\left(x^3-1\right)^2}\).
Pour les questions suivantes, à vous de me dire ce que vous avez essayer de faire.
A bientôt.

[Melanie075]

Bonsoir !!

Oui je me suis trompée sur la derivée mais je l'avais corrigée dans mon brouillon ^^

Donc je voudrais vous demandez pour la question 4)a) comment dois-je faire ? Parce j'ai oubliée la methode ^^'

Bonne soirée !!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Mélanie,

* Pour l'équation de la tangente, tu peux regarder ton cours ?
Enfin, voici la formule (à connaître par coeur !) : \(y=f'(x_0)\times{}(x-x_0)+f(x_0)\).
* Pour étudier la position de la courbe et de la tangente, il faut étudier le signe de f(x) - (ax+b) où y=ax+b est l'équation de la tangente.

Bonne continuation,
SoSMath.

[Melanie075]

Bonjour !!!

Mais comment vais-je faire vu que j'ai 2 coordonnées ? A ( 0 ; -1 )

[SoS-Math(9)]

Mélanie,

As-tu regardé ton cours ?
L'équation de la tangente à la courbe au point \(A(x_0;y_0)\) est .... (formule déja donnée) !

SoSMath.

[Melanie075]

Bonsoiir !!

J'ai resolu la question 4 grace a votre formule que j'avais oubliée ^^'

Mais il me reste la question 5 !! Et a vrai dire je sais pas comment demontrée !!

Pouvez vous m'aidez encore une fois svp ?

Desolé de vous derangez autant :s

Bonne Soirée

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Mélanie,

Pour la question 5), il suffit de déterminer le signe de" f(-1)-(la valeur de l'ordonnée du point de la tangente à l'abscisse (-1))". Pour conclure que la courbe est au dessus de la tangente, il faut que ce résultat soit positif.

Bonne continuation.

[Melanie075]

Bonjour j'ai pas vraiment compris comment fallais faire :s

D'apres mon interprétation il faut faire :

f(-1) =( -1+1 / -1^3 - 1) - 0

= 0

Mais zero c'est pas positif non ?

Merci d'Avance :)

[SoS-Math(4)]

Bonjour Mélanie ,

Tu vas reprendre cette question .
D'abord tu vas calculer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse -1, en utilisant la même formule que celle utilisée à la question 4 et qui t'a été rappelée. Tu vas trouver une expression du type y=ax+b

Ensuite tu vas calculer f(x)-(ax+b) et étudier le signe de l'expression obtenue en faisant éventuellement un tableau de signes. Ce tableau de signes te permettra de déterminer les positions relatives de la courbe et de la tangente.

Est ce que dans ton énoncé on ne précise pas que x< 1 ?
Bon courage
sosmaths

[Melanie075]

Mais moi j'ai trouvée que y = -1/1 :s

[SoS-Math(4)]

je ne comprends pas ta réponse, Mélanie.

Qu'à tu trouvé pour l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse -1 ?

sosmaths

[Melanie]

Je vais vous ecrire tous mes résultats comme sa sera plus comprehensible :)

1) f’(x) = -2x^3 - 3x² - 1 / ( x^3 -1 ) ²

2) P’(x) = -6 x² -6x

Delta = b² - 4ac
= -6² - 4 * -6 * 0
= 36 sup à 0 .

X1 = -1 X2 = 0

P ( x ) fonction polynôme donc :

Lim P(x) = - l’infini lorque x tend vers + l’infini

Lim P(x) = + l’infini lorque x tend vers - l’infini

P’(x) = - 6 x² - 6 x inférieur à 0

Donc P est continue car fonction polynôme , 0 est entre - l’infini et -1 , donc 0 admet un antécédent , P est strictement decroissante , donc il est unique . Soit x cet antécédent .

P ( 0) = -1 donc alpha < 0
P(-2) = 3 donc 0 > alpha > -2
-1,67 > alpha > -1,68 .

Par contre je sais pas comment reproduire mon tableau de signe et de variation ici :s

3) f(x) = x + 1 / x^3 - 1

Donc on a racine de alpha mais malheuresement je peux pas reproduire mon tableau encore une fois :s

4)a) f(x0) = 0+1 / 0p3 -1 = 1 / -1 = -1

f'(x0) = -2 * 0 * -1 * 0 -1 / ( 0-1)² = -1/1 = -1

( x - x 0 ) = x

-1 + ( -1 * x ) = - 1x

4)b) C est située au dessus de T lorque C>-1
C est est située au dessous de T lorque C < -1

Voilà Mes Resultats pour l'instant !! Mais je ne sais toujours pas comment faire la 5 ) :s

Je vous remercie de vous occupé autant de moi c'est vraiment tres tres gentil ^^