Dm suites

[o0hhh]

Pour tout entier naturel non nul n, on note Un=n²/2^n et vn=Un+1/Un


1°) a) Exprimer vn en fonction de n, et montrer que limn∞ (Vn)=1/2
.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,Vn>1/2

c) Trouver le plus petit entier N tel que, si n ≥ N, vn<3/4
.
2°) On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 5, Sn=Σk=5 jusqu'a n de Uk .
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n supérieur ou égal
à 5, Un< ou = (3/4)n-5 x U5


b) Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 5, Sn≤4U5 .
c) Montrer que la suite (Sn) est croissante.
d) (Sn) est-elle convergente ?

!!!! J'ai réussi à faire la question 1) a) je bloque a la b) puis pour le 2) par récurrence je bloque à l'étape de l'hérédité.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il serait agréable que vous disiez bonjour, merci et que vous vous présentiez par votre prénom...
On trouve \(v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\times~\frac{1}{2}\).
Il n'y a pas de difficulté pour la question 1.b puisque pour tout entier naturel non-nul n, on a \(\frac{1}{n}>0\).
A bientôt.

[marie]

Bonjour et excusez moi ,
Merci je vais essayer avec vos précieuses informations.

[marie]

Re-bonjour,
Pour le 2°) a) je suis bloquée à l'hérédité.
J'ai tenté plusieurs calculs
je sais qu'il faut que je trouve que Pn+1 est vraie c'est à dire Un+1<(3/4)^n-4 x U5
Alors je pars de Un<(3/4)^n-5 x U5
et j'arrive à n²/2^n+1< (3/8)^n-4 x U5

Mais voila je suis bien coincée maintenant :-(

Merci !

[SoS-Math(2)]

Bonjour,

je sais qu'il faut que je trouve que Pn+1 est vraie c'est à dire Un+1<(3/4)^n-4 x U5

C'est exact. mais je ne comprends pas comment vous trouvez la suite.

n²/2^n+1< (3/8)^n-4 x U5

.
Donnez moi le détail pour que je vois où est votre erreur.
A bientôt

[marie]

bonjour,
Un<(3/4)^n-5 x U5
n²/2^n<(3/4)^n-5 x U5
j'ai pensé ensuite que je pouvais faire ceci
(n²/2^n) x (1/2)< (1/2)x(3/4)^n-5 x U5
De cette façon je trouve (n²/2^n+1)<(3/8)^n-4 x U5

Merci encore!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marie,

Tout d'abord il faut faire attention aux priorités opératoires (donc aux parenthèses ...)
Quand tu écris (3/8)^n-4 x U5 cela veut dire : [(3/8)^n] - (4 x U5)
alors que tu veux dire : [(3/8)^(n-4)] x U5. Non ?

Pour trouver ton hérédité, il faut utiliser la question précédente Vn < 3/4 et Vn = ....

SoSMath.

[Marie]

Bonjour,
J'ai essayé de partir de Vn<3/4
Seulement , je bloque toujours , les calculs me semblent très compliqué et je ne sais plus quoi faire !
Merci

[marie]

J'ai fini par trouvé pour la question 2) a) !
Merci encore !
Mais c'est pareil pour la suite , je bloque également.
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je prends le post en cours de route :
si vous avez prouvé le 2a)
il faut surement réutiliser cette inégalité pour prouver la question suivante sur la majoration de \(S_n\).
Ensuite, votre suite \((S_n)\) doit être croissante et comme elle est majorée, il doit y avoir un théorème de cours qui dit qu'une suite croissante et majorée converge.
Pour plus de détails sur la question qui manque, il me faudrait la forme exacte de votre majoration de \(u_n\).
Bon courage

[marie]

bonjour , malheureusement sur les suites on a juste écrit vendredi "s'il existe un réel M tel que quelque soit n appartient à N(entier naturel) Un < M
On dit que la suite (Un) est majorée. Juste que la j'ai compris mais ensuite sans nous expliquer le professeur a écrit
Un= 3-n² (Un) est majorée par 3."
Donc j'ai pas bien compris alors je ne vois pas ce que vous entendez par majoration...
Mais merci!

[SoS-Math(2)]

Bonjour,

Un= 3-n² donc (Un) est majorée par 3."

pour tout entier n,
n²>0
-n²<0
3-n²<3
donc Un<3.
3 est donc le M de votre définition.
Un est majorée par 3

A bientôt sur SoS-Math

[marie]

Je n'y arrive pas même en prenant comme inégalité Un<[(3/4)^n-5]xU5
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as \(u_k\leq\left(\frac{3}{4}\right)^{k-5}\times\,u_5\), c'est ça (que ce soit des k ou des n ne change rien) ?
Alors si tu fais la somme pour \(k\) variant de 5 jusqu'à n:
\(\sum_{k=5}^{n}uk\leq\left(\sum_{k=5}^{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-5}\right)\times\,u_5\)
Tu dois reconnaitre "à peu près" la somme des termes d'une suite géométrique (tu connais ?) et la majoration finale s'en déduit...