volume et fonction

[alexandre]

Bonjour, j'ai un dm a faire mais je bloque a l'exo 3 :

deux eprouvettes c1 et c2 ont les formes indiqués sur le dessin ci desous (c1 est un cône h=9 r=? / c2 est un cylindre h=9)
unité de longueur 1 cm
on verse dans c1 de l'eau jusqu'à une hauteur x puis on transvase le contenu dans c2, ou l'eau atteint alros une hauteur, fonction de x notée h(x)

1) Prouver que le volume dans c1 est égale a V1 = (pi r² x^3) / 243 et déduisez que h(x) = x^3/243.

pour le volume je trouve V1=pi r² * x /3 mais je ne sais pas comment aller plus loin... je pourrai calculer r mais je ne connais pas la formule ^^
mais meme en calculant r j'aurai logiquement un pb puisque le cone est a l'envers et que l'eau ne touche pas la surface

je peux aussi faire volume total du cône - volume du cône non remplie = V1 mais là aussi je bloque

merci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

J'ai vu tes deux messages mais il manque une indication* à savoir la forme du cône, c'est peut-être pour cela que personne ne t'a répondu. Peux-tu préciser l'énoncé, merci.

* Si le cône est moins large en haut que le cylindre alors h < x et si il est plus large on peut avoir h > x.

[alex]

C'est un cône de revolution

la surface du cone est auatnt large que le cylindre. donc surface cone = surface cylindre .

L'enoncé est comme je vous l'ai dit

[alex]

et la hauteur du cône et du cylindre est supérieur a x, hauteur = 9 alors que x fait moins, enfin je vois pas trop ce que vous demandez, et impossible de scanner :s

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Alex,

Fais un dessin en coupe du cône, c'est un triangle isocèle, trace son axe, et place à une certaine hauteur un segment parallèle au bord supérieur du cône.
Appelle R le rayon commun du cône et du cylindre et r le rayon de la surface du liquide, applique le th de Thalès tu obtiens une relation entre r,R, x et 9, déduis-en r en fonction de x et de R.
Le volume du liquide est \(\frac{1}{3}\pi\times{r^2}\times{x}\), remplace r par la formule que tu as trouvée précédemment, tu as une formule en fonction de x et de R.
Le même volume dans le cylindre est \(\pi\times{R^2}\times{h}\), ces deux volumes sont égaux (à condition de ne pas en verser à côté ...) dans ce cas écris l'égalité et simplifie, tu dois trouver la relation donnée dans l'énoncé.

Bon courage

[alex]

Bonjour

Je en vous suis pas trop pour la figure :s pourriez vous la dessinez sur geo gebra ?

[SoS-Math(11)]

Hélas non je ne suis pas équipé ni pour scanner ni pour dessiner, voici un truc :
___B____A
\ ...|... /
..\ D|_/C
....\|/
S
Tu as SB = 9,BA = R ; CD = r et SD = x ; applique Thalès dans les triangles SAB et SDC
Je peux difficilement faire mieux, les points blancs sont là pour les décalages.

Bon courage

[alex]

ok merci je vais faire votre démarche, c'est enfaite pour calculer r cette technique ?

sd/sb=sc/sa=dc/ba

x/9=sc/sa=r/R
x/9=r/R
9r=xR
r=xR/9

C'est sa ?

[SoS-Math(11)]

OK, il ne te reste plus qu'à bien utiliser les formules de volumes que je t'ai rappelées et ça devrait aller.

Bonne fin d'exercice

[alex]

Re bonjour !

Donc j'ai tout terminé, par contre j'ai un peu de mal pour deduire x3/243

J'aurai besoin d'aide^^

[alex]

Je pense avoir trouver en faite :

je part de pi r² h=pi r²x^3 / 243

d'après l'énoncé on peut dire que h= h(x)

soit h(x) r² pi = pi r² x^3 /243

ou en déduit donc h(x) = x^3 /243 (puisque l'on divise par pi et r²)

après je doit montrer que sur [0,9] h est strictement croissant :

je pense faire 0<a<b<9
0<a^3<b^3<9
0<a^3/243<b^3/243<9/243


par contre je dois donner a quel hauteur doit être l'eau dans c1 pour qu'on est 1cm d'eau dans c2

je pense faire une équation du genre h(x)=1 soit pi r² h = 1 soit x^3/243=1 c'est sa ?

d) peut on remplir C2 a moitié en une seule fois

donc la volume cone = 1/2 volume cylindre ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Cela me semble correct. Bonne continuation.

[Alex]

bonjour, j'ai tout fait sauf l'avant dernière :

on arrive a x^3=243 mais j'ai jamais résolu de tel équation avant :s

merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Il suffit de prendre la fonction inverse de la fonction cube, c'est la racine cubique, la touche est parfois sur les calculatrices : comme racine carré mais avec un petit 3 au dessus du v du symbole, sinon il faut taper le nombre à la puissance 1/3 en mettant 1/3 entre parenthèses.

Bon courage

[alex]

merci

effectivement je trouve le même résultat que j'avais trouvé en faisant plusieurs test^^

pour la dernière je dois faire :

1/2 (pi r² h) = (x^3r² pi)/243 ?
ou aussi :
1/2 (pi r² (x^3/243)) = ...... ?

Merci