Bonjour,
J'ai 4 exercices de spécialité à faire. Je suis arrivée à faire le 1, mais je bloque pour le 2, le 3 et le 4. Nous n'avons vu que le tout début des congruences (encore aucune des quatre propriétés avec les additions ou les puissances... que j'ai pu voir dans le livre) et nous avons vu la partie sur la division euclidienne.
Exercice 1:
1) Déterminer les couples d'entiers natuels (a;b) tels que: ab=20
2) Déterminer les couples d'entiers naturels (x,y) tels que: 9x²=y²=20
Exercice 2:
Déterminer les couples d'entiers naturels (x;y) telsque:(x-27) (y+12)= xy
Exercice 3:
1) Vérifier que pour tout n entier naturel on a : (n+1)³=n²(n+3)+3n+1.
é) Pour tout entier naturel n, déterminer le reste de la division euclidienne de (n+1)³ par n².
Exercice 4:
Soit a un entier relatif, démontrer que:
"8 divise a+23 " si et seulement si "8 divise 3a+5".
L'exercice 2 :
Pour cet exercice, je sèche complètement. Je sais que comme x et y sont des entiers naturels, xy est forcément positif et que par conséquent x doit forcément être supérieur ou égal à 27. En partant de ce principe, j'ai trouvé le couple (27 ; 0) : en effet x - 27 = 0 dans ce cas, et il faut ainsi que y soit égal à 0 pour que l'autre partie de l'égalité s'annule. Pour le reste, je ne vois absolument pas quoi faire et ne saurais même pas démontrer de manière rigoureuse l'existence du couple que j'ai trouvé.
Pour l'exercice 3 j'ai fait :
1) (n+1)³=(n+1)(n+1)²=(n+1)(n²+2n+1)=n³+2n²+n+n²+2n+1=n²(n+3)+3n+1
Pour le 2, je me suis dit que l'on a (n+1)³ qui s'écrit sous la forme a=bq+r et qu'il fallait juste prouver que 0\(\leq\)r<b
avec b=n² et r=3n+1 alors il fallait montrer que n²\(\leq\)3n+1. Or ce n'est pas le cas si x =1 ou x =0. J'ai eu l'idée de réduire le reste en faisant 3n+1 = n+3 +2n - 2 Mais je ne sais pas quoi en faire par la suite parce que ça donnerai n²+1 et non n².
Pour l'exercice 4:
... Je suis partie du principe que 8=k(a+3) et 8 = k'(3a+5) d'ou 8/k(a+3)+k'(3a+5) avec k=3 et k' =-1
On a ainsi 8/3a+9-3a-5 <=> 8/4 ce qui est bien le cas, mais je ne suis pas certaine que mon raisonnement soi correct.
Le professeur nous a dit qu'il y avait un théorème que nous n'avions pas vu en cours qu'il fallait utiliser pou l'un des exercices mais il ne nous a pas dit lequel, et qu'on devait le "sentir" sans pouvoir le prouver.
J'ai ce devoir à faire pour jeudi et j'y ai passé pas mal de temps sans y arriver jusqu'au bout. J'espère que vous pourrez m'aider et vous remercie d'avance du temps que vous allez consacrer pour m'aider !
Ptite LiLou
devoir maison
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Ptite LiLou
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SoS-Math(4)
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Re: devoir maison
Bonjour,
ex2: je te conseille de développer du côté gauche, ce qui éliminera xy.
ex3: 3n+1 est le reste si 3n+1<n² donc tu résouds cette inéquation.
si 3n+1>= n² alors 3n+1 n'est pas le reste et tu dois donc le chercher.
ex4:si 8 divise a+23 alors a divise 3(a+23)-8x8 donc a divise 3a+5.
Cherche la réciproque.
Bon courage
sosmaths
ex2: je te conseille de développer du côté gauche, ce qui éliminera xy.
ex3: 3n+1 est le reste si 3n+1<n² donc tu résouds cette inéquation.
si 3n+1>= n² alors 3n+1 n'est pas le reste et tu dois donc le chercher.
ex4:si 8 divise a+23 alors a divise 3(a+23)-8x8 donc a divise 3a+5.
Cherche la réciproque.
Bon courage
sosmaths
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Ptite LiLou
Re: devoir maison
Merci pour votre réponse.
Pour l'ex 2 : je suis arrivée à 12x = 27y+324=(27y+12) et je retombe ainsi sur un produit.J'ai dressé une liste des diviseurs de 324 : 1 2 3 4 6 9 12 27 36 54 81 108 162 324.
Est-ce qu'il faut que je vérifie les couples d'équation ? Ou alors essayer de trouver des entiers avec lequel l'autre membre est équivalent ?
Pour l'ex 3 : Je n'y arrive pas là, ou en tout cas j'ai des racines carrés dans mes racines quand je fais le delta : je tombe sur 0 < n3n-1 d'ou delta = 13 ce qui ne donne pas une racine carré qui retombe sur un nombre entier (comme 4 pour 16 par exemple). J'ai vu n² -1 et je pensais à une identité remarquable, mais après j'ai (n+1)(n-1)-3n et je ne tombe toujours pas sur un produit.
exercice 4 : j'ai compris votre raisonnement et j'ai eu beau chercher et regarder dans mon livre de math, je ne vois pas de quelle "réciproque" il peut s'agir.
Encore merci ! ^^
Pour l'ex 2 : je suis arrivée à 12x = 27y+324=(27y+12) et je retombe ainsi sur un produit.J'ai dressé une liste des diviseurs de 324 : 1 2 3 4 6 9 12 27 36 54 81 108 162 324.
Est-ce qu'il faut que je vérifie les couples d'équation ? Ou alors essayer de trouver des entiers avec lequel l'autre membre est équivalent ?
Pour l'ex 3 : Je n'y arrive pas là, ou en tout cas j'ai des racines carrés dans mes racines quand je fais le delta : je tombe sur 0 < n3n-1 d'ou delta = 13 ce qui ne donne pas une racine carré qui retombe sur un nombre entier (comme 4 pour 16 par exemple). J'ai vu n² -1 et je pensais à une identité remarquable, mais après j'ai (n+1)(n-1)-3n et je ne tombe toujours pas sur un produit.
exercice 4 : j'ai compris votre raisonnement et j'ai eu beau chercher et regarder dans mon livre de math, je ne vois pas de quelle "réciproque" il peut s'agir.
Encore merci ! ^^
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SoS-Math(4)
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Re: devoir maison
ex2 :12x=27(y+12)
Comme 27 est premier avec 12, alors 27 divise x. Donc x s'écrit x=27k, k entier
Tu remplaces x par 27 k.
ex3 : Ce n'est pas grave si les racines ne sont pas entières. Il y a des entiers dans les intervalles. N'oublie pas aussi que n>=0.
ex4 : si et seulement si signifie "est équivalent à " . P équivalent Q signifie que: P implique Q et Q implique P
Donc il faut montrer dans les 2 sens .
Il te reste à montrer que : 8 divise 3a+5 implique que 8 divise a+23
bon courage
sosmaths
Comme 27 est premier avec 12, alors 27 divise x. Donc x s'écrit x=27k, k entier
Tu remplaces x par 27 k.
ex3 : Ce n'est pas grave si les racines ne sont pas entières. Il y a des entiers dans les intervalles. N'oublie pas aussi que n>=0.
ex4 : si et seulement si signifie "est équivalent à " . P équivalent Q signifie que: P implique Q et Q implique P
Donc il faut montrer dans les 2 sens .
Il te reste à montrer que : 8 divise 3a+5 implique que 8 divise a+23
bon courage
sosmaths
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Ptite LiLou
Re: devoir maison
Pour l'exercice 2 : dans ce cas 324k=27(y+12) <=> 12k=y+12 <=> 12k-12=y <=> 12(k-1)=y on a ainsi
x=27k et y=12(k-1) Après j'ai pensé écrire deux égalités de k mais cela me fait plus revenir au point de départ qu'autre chose.
exercice 3 : Je n'ai pas très bien saisi. Les racines du trinôme que l'on trouve ne sont pas censés être les restes, et par conséquent des entiers naturels ?
exercice 4 : si 8 divise 3a+5 alors 8 divise 8 x un autre nombre entier naturel que je dois trouver. Or le truc c'est qu'il me faut pour oeff de 3a+5 un nombre qui soit multiple de 3 et dont la différence avec l'autre nombre que je dois trouver soit de 3 et que l'autre nombre soit multiple de 8. Or 27-24=3
Donc ce que je fais c'est k=9 et k'=3
9(3a+5)-8x(3a+le dernier chiffre que je dois trouver)
9 x 5 = 45 Or je dois trouver 23 45-23 = 22 or 22 n'est pas divisible par 8. Je reste bloquée à-dessus.
Merci !
x=27k et y=12(k-1) Après j'ai pensé écrire deux égalités de k mais cela me fait plus revenir au point de départ qu'autre chose.
exercice 3 : Je n'ai pas très bien saisi. Les racines du trinôme que l'on trouve ne sont pas censés être les restes, et par conséquent des entiers naturels ?
exercice 4 : si 8 divise 3a+5 alors 8 divise 8 x un autre nombre entier naturel que je dois trouver. Or le truc c'est qu'il me faut pour oeff de 3a+5 un nombre qui soit multiple de 3 et dont la différence avec l'autre nombre que je dois trouver soit de 3 et que l'autre nombre soit multiple de 8. Or 27-24=3
Donc ce que je fais c'est k=9 et k'=3
9(3a+5)-8x(3a+le dernier chiffre que je dois trouver)
9 x 5 = 45 Or je dois trouver 23 45-23 = 22 or 22 n'est pas divisible par 8. Je reste bloquée à-dessus.
Merci !
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SoS-Math(4)
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Re: devoir maison
Bonsoir,
ex 2 : x=27k y=12(k-1) k entier relatif c'est juste.
ex3 Je résous : 3n+1<n² soit n²-3n-1 >0 On trouve n > \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) compte tenu que n >=0
Or n est entier donc on obtient n>=4
Donc pour n>=4 le reste est 3n+1
Maintenant tu vas étudier les cas n=0;1;2;3 indépendamment.
ex4: 8 divise 3a+5 et 8 divise 8 alors 8 divise -5(3a+5)+8(2a+6)
k=-5 et k'=2a+6
alors 8 divise -15a-25+16a+48 donc 8 divise a+23.
Attention : dans mon premier message , j'ai écris a à la place de 8.
Bon courage
sosmaths
ex 2 : x=27k y=12(k-1) k entier relatif c'est juste.
ex3 Je résous : 3n+1<n² soit n²-3n-1 >0 On trouve n > \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) compte tenu que n >=0
Or n est entier donc on obtient n>=4
Donc pour n>=4 le reste est 3n+1
Maintenant tu vas étudier les cas n=0;1;2;3 indépendamment.
ex4: 8 divise 3a+5 et 8 divise 8 alors 8 divise -5(3a+5)+8(2a+6)
k=-5 et k'=2a+6
alors 8 divise -15a-25+16a+48 donc 8 divise a+23.
Attention : dans mon premier message , j'ai écris a à la place de 8.
Bon courage
sosmaths
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Ptite LiLou
Re: devoir maison
exercice 2 :
alors j'ai au comme idée de faire comme on a k et k-1 : (x-27)/27=k-1 et y/12=k-1 <=> (x-27)/27=y/12 <=> y=(12x-324)/27
et que maintenant le problème est de trouver des couples d'entiers naturels. Pour cela, j'ai déjà dit qu'il y avait le couple (27;0).Je voudrais essayer ainsi d'établir une suite, ce qui rendrait déjà y comme étant un entier relatif et chercher une valeur qui fonctionnesans que ce dernier soit nul., il ne manquerait plus ainsi qu'à voir si cette suite est majorée et/ou minorée ou si elle admet des limites en +ou- l'infini ce qui fait que je devrais changer de piste, car je vois aussi que y ne s'écrit pas ici comme un diviseur (à cause du /27).
exercice 3 : J'ai trouvé pour n=4 le reste est 13(<4²) pour n=3 on a le reste=1 pour n=2 r=4 et n=1 r=0 donc pour là plus de problème. =)
exercice 4 : d'accord d'accord. Mais ce que je voudrais savoir c'est si il y aurait une "astuce" pour trouver les coefficients k et k' ? Parce que lorsqu'il s'agit de mettre de trouver des coefficients qui sont la somme d'entiers relatifs variables ou "stables" (comme on a ici 2a+6), je ne me rends pas forcément compte tout de suite de quelles valeurs ils peuvent prendre.
Merci de m'apporter encore un peu de soutien, car sans ces conseils je crois que je serais restée sur le carreau.
alors j'ai au comme idée de faire comme on a k et k-1 : (x-27)/27=k-1 et y/12=k-1 <=> (x-27)/27=y/12 <=> y=(12x-324)/27
et que maintenant le problème est de trouver des couples d'entiers naturels. Pour cela, j'ai déjà dit qu'il y avait le couple (27;0).Je voudrais essayer ainsi d'établir une suite, ce qui rendrait déjà y comme étant un entier relatif et chercher une valeur qui fonctionnesans que ce dernier soit nul., il ne manquerait plus ainsi qu'à voir si cette suite est majorée et/ou minorée ou si elle admet des limites en +ou- l'infini ce qui fait que je devrais changer de piste, car je vois aussi que y ne s'écrit pas ici comme un diviseur (à cause du /27).
exercice 3 : J'ai trouvé pour n=4 le reste est 13(<4²) pour n=3 on a le reste=1 pour n=2 r=4 et n=1 r=0 donc pour là plus de problème. =)
exercice 4 : d'accord d'accord. Mais ce que je voudrais savoir c'est si il y aurait une "astuce" pour trouver les coefficients k et k' ? Parce que lorsqu'il s'agit de mettre de trouver des coefficients qui sont la somme d'entiers relatifs variables ou "stables" (comme on a ici 2a+6), je ne me rends pas forcément compte tout de suite de quelles valeurs ils peuvent prendre.
Merci de m'apporter encore un peu de soutien, car sans ces conseils je crois que je serais restée sur le carreau.
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: devoir maison
Bonsoir,
Je prends le post en route,
je tache de répondre à l'exo 2, Le développement du produit de gauche mène bien à \(12x=27(y+12)\), on simplifie ensuite par \(3\) de sorte qu'on ait
\(4x=9(y+12)\) donc \(9\) divise \(4x\) et comme 9 est premier avec 4, d'après le théorème de Gauss, on a 9 qui divise \(x\).
Donc x est un multiple de 9 ce qui s'écrit \(x=9k,\,k\in\mathbb{Z}\). Tu reprends ta relation de divisibilité avec \(y\) en y remettant \(x=9k\)et tu obtiens la forme de \(y\) en fonction de \(k\).
Bon courage
Je prends le post en route,
je tache de répondre à l'exo 2, Le développement du produit de gauche mène bien à \(12x=27(y+12)\), on simplifie ensuite par \(3\) de sorte qu'on ait
\(4x=9(y+12)\) donc \(9\) divise \(4x\) et comme 9 est premier avec 4, d'après le théorème de Gauss, on a 9 qui divise \(x\).
Donc x est un multiple de 9 ce qui s'écrit \(x=9k,\,k\in\mathbb{Z}\). Tu reprends ta relation de divisibilité avec \(y\) en y remettant \(x=9k\)et tu obtiens la forme de \(y\) en fonction de \(k\).
Bon courage