Lieu Géométrique.

[Emeline M.]

Bonjour à tous, j'ai un très gros problème avec un exercice de Math, et je bloque complètement...
Voici l'énoncé:


Soit f la fonction définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
f(x) = x^3 / (x-1)²
Et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, i, j).
1°) Etudier les variations de la fonction f
2°) Déterminer des réels a, b, c et d tels que, pour tous réel x ≠ 1 :
f(x) = ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ]
En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.
3°) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
4°) Tracer la courbe C et les droites D et T.
5°) a) A l’aide graphique, étudier, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solution de l’équation : f(x) = x + p.
b) Préciser l’ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.
6°) Lorsque la droite Δ d’équation y = x + p coupe la courbe C en deux points M et N, on note P le milieu le milieu de [MN].
On s’intéresse au lieu géométrique du point P.
a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection M et N sont les solutions de l’équation (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0.
b) En déduire que l’abscisse du point P est :
xP = 1 + [ 3 / (2p – 4) ]
et démontrer que P appartient à la courbe C d’équation :
y = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
c) Quel est l’ensemble décrit par xP lorsque p décrit D ?
d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
g(x) = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
et tracer la courbe C’.
Préciser la partie de la courbe C’ décrite par le point P lorsque la droite Δ prend toutes les positions possibles.



Voici mes réponses:

1°) Pour cette question, j'ai tout d'abord calculé la dérivé de la fonction.
Je trouve f'(x) = [ x² (x² - 4x + 3) ] / [ (x-1)^4 ]
Puis, j'étudie le signe. On sait que (x-1)^4 est toujours positif, il s'annule pour la valeur x = 1 et que x²(x²-4x+3) avec x² étant aussi toujours positif donc il suffit d'étudier la fonction polynôme. On calcul le discriminant et on trouve deux solutions: x=3 et x=1.
Ainsi, on peut dresser le tableau de variation suivant :
http://www.weplug.com/images_1/6133c84f ... 050900.jpg]http://www.weplug.com/images_1/6133c84f ... 050900.jpg


Mais pour le reste, je bloque complètement..
Merci d'avance pour votre aide et vos conseils!

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
la question 1 est bien résolue
Pour la 2)
mettez tous les termes de l'expression ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ] au même dénominateur puis par identification avec f(x), déterminez un système que vérifient les valeurs de a, b, c et d.
Pour trouver la position de C par rapport à D, il faut étudier le signe de f(x) - (x+2)
Bon courage

[Emeline M.]

Et pour la question 2°), une fois que j'ai tout mis au même dénominateur, je reste bloqué. Je n'arrive pas à simplifier...

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Emeline,

Maintenant tu as deux quotient égaux (f(x) et celui que tu viens de réduire) qui ont le même dénominateur.
Donc ils ont le même nimérateur ....
Tu obtiens donc deux polynômes égaux, donc les coefficient des termes de même degré sont égaux.
Cela doit te permettre de calculer les réels a, b, c et d.

SoSMath.

[Emeline M.]

Merci beaucoup!
Donc pour la 2°) Je trouve bien a=1, b=2, c=3 et d=-2.
on peut donc ensuite faire f(x) - (x+2) et on trouve (3x-2)/(x-1)².
Donc en +infi, la courbe représentative de f et la droite d'équation y = x+2 tendent à se rapprocher indéfiniment, donc que la droite d'équation y = x+2 est une asymptote oblique à la courbe représentative de f . Correct ?

Pour la 3°), en posant f'(x)=1, je trouve x= 1/3.
Donc j'en ai déduis que l'équation de la tangente est y = x - 1/4.

Ensuite, pour la question 4°), voici le lien :
http://www.weplug.com/images_1/a29322d1 ... 174605.png

Pour la 5°) a), je n'ai pas vraiment compris le but de la question et ce qu'on doit chercher. Qu'est-ce que le paramètre p ?

Merci.

[SoS-Math(9)]

Emeline,

Pour la question 2) tes nombres sont justes.
En effet tu trouves f(x) - (x+2) = (3x-2)/(x-1)².
Il faut alors calculer la limite en + l'infini de (3x-2)/(x-1)².
Si cette limite est égale à 0, alors la droite est asymptote à ta courbe.
Pour la position il faut étudier le signe de f(x) - (x+2) donc de (3x-2)/(x-1)².

3) Cela semble juste.
4) ??

5) A l'aide de ton graphique il faut résoudre les équations f(x) = x+p !
Trace sur ton graphique, la droite d'équation y = x, puis y=x+1, puis y=x-1,5 etc... et note à chque fois le nombre de solutions de l'équation !
Puis fais une conjecture sur les valeurs de p qui donnent deux solutions à ton équation.

SoSMath.

[Emeline M.]

Ainsi, pour la 5°)a) on voit, d'après le graphique, que :
- pr p < -1/4, l'équation n'a pas de solution
- pr p = -1/4, l'équation admet une solution, la droite d'équation y = x - 1/4 étant tangente à f.
- pr -1/4 < p < 2, l'équation admet 2 solutions
- pr p = 2, l'équation admet une solution, la droite d'équation y = x+2 étant asymptote oblique à f
- pr p > 2, l'équation admet 2 solutions.

:)


Ainsi, pour la b), on peut dire que:
D = ] (-1/4) ; 2 [ U ] 2 ; +infi [


Pourriez vous m'aider également pour la suite ? :)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Emeline,

C'est exact pour ta question 5).

Pour la question 6) :
a) Tes points M et N sont l'intersection des courbes de f et de la droite, donc leurs coordonnées vérifient les deux équations = y = f(x) et y = x+p.
Donc leurs abscisses vérifient f(x) = x+p avec x appartenant à D.
Il te reste à transformer cette équation pour obtenir celle demandée .....
b) Il y a une formule qui donne les coordonnées du milieu.
Rappel : un point apprtient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.
Pour le reste, cela semble assez simple.

SoSMath.

[Emeline M.]

Merci pour vos réponses.
Pour la question 6°) a), je retrouve bien l'équation, mais je dois juste faire le calcul ou je dois rajouter une conclusion juste après ?

Et pour la 6°) b), je ne vois pas du tout quel pourrait être la formule qui donne les coordonnées du milieu..

[SoS-Math(9)]

Emeline,

Pour la question 6a) il faut juste faire le calcul !
6b) Si A(xA;yA) et B(xB;yB) alors le milieu a pour coordonnées ((xA+xB)/2;.....) !

SoSMath.

[Emeline M.]

Donc point milieu aux abcsisses : (x1+x2)/2 = (2p-1)/(2(p-2)) ?

Ainsi on pourrait écrire que x = (2p-1)/(2(p-2))
Qui peut aussi s'écrire:
x = (2p-4+3)/(2p-4)
x = 1 + [3/(2p-4)]
Et on trouve ainsi l'équation demandé.

Pour la deuxième partie de la question, On pourrait se servir de la formule:
Y = X + p
p = Y - X
d'où
X = (2(Y-X)-1)/(2((Y-X)-2))
soit
X.(2((Y-X)-2)) = (2(Y-X)-1)
X.(2Y-2X-4) = 2Y-2X-1
2XY - 2X² - 4X = 2Y-2X-1
donc
2X² + 2X - 1 = 2XY - 2Y

Mais en faite, je reste bloquée ici..

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Emelline,

On te demande de vérifier que P est un point de la courbe, donc il faut vérifier l'égalite :
yP = xP + 2 + [ 3 / 2(xP – 1) ]
Remarque : P est un point de la droite, donc yP = xP + p !

SoSMath.

[Emeline M.]

Voici ce que j'ai fais du coup pour la deuxième partie de la question.

x = 1 + [ 3 / (2(y-x)-4) ]
x-1 = [ 3 / (2(y-x)-4) ]
(x-1) (2 (y-x) - 4) = 3
(x-1) 2y - (x-1) (2x+4) = 3
(x-1) 2y = (x-1) (2x+4) + 3
y = [(x-1 (2x+4) + 3] / [2(x-1)]
d'où y = x + 2 + [ 3 / (2(x-1)) ]

C'est correcte ? :)

Et pour la question 6°)c), qu'est-ce qu'ils entendent par "ensemble décrit par xP lorsque p décrit D" ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Emeline,

Ce que tu as fait semble correct !.

Les ensembles demandés sont souvent des ensembles remarquables : droite, cercle , parabole, hyperbole, etc ...
Donc ici, ton équation est celle de ..... à toi de trouver !

SoSMath.

[Melissa]

Bonjour,

En effet, j'ai le même problème à faire. Pour la fin, est ce que c'est vrai que l'ensemble est un hyperbole?

Merci beaucoup,

~L