problème d'algèbre linéaire

[Gustave]

Bonjour sos-math,


J'ai posté un topic précédemment mais j'ai finalement trouvé la réponse, donc j'en poste un autre pour une autre question;


l'énoncé est le suivant:

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Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.

On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.

Partie I

On suppose que vovow = 0, que vow $\neq$ 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1$\subset$ M2 et que M1 $\neq$ M2
2) Démontrer que E = N1 $\bigoplus$M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit $\bar{v}$ la restriction de v à M2. Que dire de $\bar{v}$ o $\bar{v}$ ?
4) Déterminer le noyau et l'image de $\bar{v}$.
5) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est $\( \array{a&1&0\\0&a&0\\0&0&b}$\)

Partie II

On suppose que, relativement à une base donnée de E, u a pour matrice

A= $\( \array{8&-1&-5\\-2&3&1\\4&-1&-1}$\)

1)Calculer $A^2-6A+8I$ et $A^3-10A^2+32A-32I$, où I est la matrice identité de$M^3(IR)$.

2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.

3)Déterminer une base respectivement de $M_1$, $M_2$et de $N_1$.

4)Déterminer une base de E par rapport à laquelle l'endomorphisme u a pour matrice J=$\( \array{4&1&0\\0&4&0\\0&0&2}$\)

5) calculer $J^n$, puis$A^n$ pour n $\in$ N*
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J'ai fait la partie I et je suis à la question 2) de la partie II.

1) A^2-6A+8I=$\( \array{6&0&-6\\-6&0&6\\6&0&_6}$\)
et$A^3-10A^2+32A-32I=0$



2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.

j'avoue ne pas savoir comment procéder.

Merci d'avance.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Nous sommes désolés, mais votre message ne correspond pas aux niveaux traîtés.
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Bonne continuation.