Limites de Suites

[Jérémie]

Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour deux exercices sur les limites car je m'entraine pour mon futur devoir et je n'arrive pas à les résoudre.
Voilà leur énoncé respectif.

Exercice n°1 :
Soit (Un)n telle que Uo = 1 et pour tout n élément de N*, Un+1 = 2Un + 3
On pose Vn = Un + 3
Montrer que Vn est géométrique. En déduire Un en fonction de n.

Exercice n°2 :
Calculer Un = 1 + 1/3² + 1/3^4 + 1/3^6 +...+ 1/3^2n
Ensuite calculer la limite de Un.
Pour l'exercice 2 j'avais trouvé la raison qui était de q = 1/3² et ensuite j'avais commencé à calculer la somme grâce à la formule pour les sommes d'une suite géométrique mais je suis resté bloqué.

Merci Beaucoup
Au revoir
Jérémie

[SoS-Math(2)]

Bonsoir
pour le n°1
Il faut montrer que \(V_{n+1}=qV_n\)

\(V_{n+1}=U_{n+1}~+3\)
\(V_{n+1}=2U_n+3+3\)
\(V_{n+1}=..............\)

Vn=Un+3, on peut en déduire que Un=Vn-3 et remplacer Un par cette expression dans l'égalité ci-dessus.

Pour le n°2
Un est effectivement la somme dont vous parlez alors donnez-nous votre résultat pour nous vous débloquions.

Bon courage

[Jérémie]

Bonsoir,
Pour le n°1 j'ai pu trouver que Vn était une suite géométrique de raison q=2.
Mais je ne vois toujours pas comment en déduire Un en fonction de n...

Pour le n°2 j'ai uniquement remplacer les termes dans la formule, j'obtiens donc : S = 1-q^n+1 / 1-q
Ce qui me donne :
S = 1-(1/3)^2n+1 / 1-(1/3)²
S = 1-(1/3)^2n*1/3 / 1-(1/3)²

J'ai tenté de factoriser par (1/3) et ça me donne : 3-1^2n / 8 ( je ne vous ais pas tout détaillé, désolé..)
A ce moment là, 2n est toujours paire, non ?
Donc quel que soit n, j'ai S = 1/4

Ensuite pour calculer la limite, étant donné que -1 < q < 1, la suite Un converge, mais je n'arrive pas à obtenir la limite.

Merci beaucoup de votre aide.
Au revoir

[Jérémie]

J'ai réfléchie un peu, et je me suis dis que la limite devait être 1/4 non ?
Un converge vers 1/4.. je me trompe ?
Merci
Au revoir

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Jérémie,

Ex 1
Rappel : si (un) est une suite géométrique de raison q et de 1er terme u0, alors pour tout n de IN \(u_n=u_0\times{}q^n\), ce qui te donne ton expression de un en fonction de n !

Ex 2
Remaque : 1/3² = 1/9.
comme vous avez une suite géométrique, alors \(S_n=\frac{1-(\frac{1}{9})^n}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1-(\frac{1}{9})^n}{\frac{8}{9}}=\frac{9}{8}(1-(\frac{1}{9})^n)\).
Et donc la limite sera \(\frac{9}{8}\)

SoSMath.

[Jérémie]

Pour l'exercice 1 on trouve donc Un = 2^n
Pour l'exercice 2, c'est bien plus simple avec 1/3² = 1/9 en effet ^^
Je vous remercie vraiment, en espérant que je réussisse mon devoir maintenant..
Au revoir et à la prochaine peut être !
Merci

[SoS-Math(9)]

A bientôt Jérémie,
SoSMath.