Limite d'une suite : suites convergentes

[Joanne]

Bonsoir, je viens tout juste de commencer le chapitre "Limite d'une suite", pour le moment je suis un peu perdue et le professeur nous a donné l'exercice suivant :

u est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}\).
Démontrer avec la définition que la suite u converge vers 0.

Il y a une aide : I=]a;b[ est un intervalle ouvert contenant 0. \(u_{n}\epsilon{I}\) équivaut à \(\frac{1}{n^{2}+1}\)< b, c'est à dire n²+1>\(\frac{1}{b}\).

Voilà, merci !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Joanne,

Tu as la définition : "On dit que la suite (un) admet pour limite le réel l, si tout intervalle ouvert ]a , b[ contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang."
Donc l'idée est de déterminer un entier \(n_0\) ("le certain rang") pour ton intervalle ]a, b[.

Avec l'aide, tu peux choisir \(n_0\) ....

Bon courage,
SoSMath.

[Joanne]

D'accord, mais je ne vois pas comment trouver no..

Merci.

[SoS-Math(2)]

Bonjour
Quel que soit l'intervalle ]a,b[ contenant 0 , Il faut montrer qu'à partir d'un certain rang n0, tous les termes Un appartiennent à ]a; b[
On pose a < Un<b
\(a<\frac{1}{n^2+1}<b\)
la première inégalité est toujours vraie car a est négatif et Un positif donc pour tout n , a<Un
Il faut donc maintenant résoudre
\(\frac{1}{n^2+1}<b\)
A vous de continuer

[Joanne]

D'accord.
n²>(1-b)/b

[SoS-Math(2)]

C'est juste
Bon courage pour la suite

[Joanne]

Donc \(n_{0}=\sqrt{\frac{(1-b)}{b}}\).

Est-ce cela ?
Merci.

[SoS-Math(2)]

Attention Joanne,
n est un entier et il y a des précautions à prendre pour b car 1 - b doit être .......si vous voulez en prendre la racine carrée.

Si n >1.235 quel est le premier entier vérifiant cette inégalité.
La partie entière joue un rôle.
Bon courage pour continuer