Suite définie par une fonction : limite / variations

[Saad ter C]

Hi, toujours en me préparant pour le bac (blanc). Je me suis penché sur un exo d'étude de func de chez eclipse.

Et j'avoue que je trouve la 2 ème partie qui traite d'une petite suite quelque peu frustrante et j'aimerais bien qu'on me corrige ;(
Voici l'énoncé de tout l'exo;

Soit une $f(x)=\frac{e^x}{x+e^x}$ tel que $x\in R^+$

Partie II)
Soit n > 0 un entier naturel.
1) Montrer que Cf et la droite y = n(x-1) se croisent en un point unique $\alpha_n$ tel que @n>1
2)Montrer que @n est décroissante
3)lim @n

--
1) Je considère une fonction $h_n(x) = f(x)$ - y et je l'étudie (ça a quand même nécessité 3 dérivée pour trouver le signe de h'(x))
On trouve que h(x) est une application bijective qui va de (1 , +oo[ vers [e/1+e , -oo[) 0 appartient a ce dernier et donc $E! \alpha_n > 1 / h(\alhpa_n)=0$ et donc ...
Bon la deuxième est la plus dure ; Simplement calculer f(@n+1) - f(@n) ne fait pas du tout l'affaire. Après une 10 de minutes je me suis rendu compte qu'il fallait utiliser la variation de h sur 1,+00[ mais aussi sa position par rapport a h_n+1
grace a un petit calcul plus ou moins astucieux je trouve que quelque soit x € R+ $h_n+1(x) > h_n(x)$
(chose qu'on peut observer http://rechneronline.de/function-graphs en chargeant ce script en bas

Code : Tout sélectionner

a0=2&a1=(e^x/(x+e^x)) - 4*(x-1)&a2=e^x/(x+e^x) - 1*(x-1)&a3=e^x/(x+e^x)&a4=1&a5=4&a6=8&a7=1&a8=1&a9=1&b0=500&b1=500&b2=-5&b3=5&b4=-5&b5=5&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=0&d5=90&d6=0&d7=90&d8=0&d9=90&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=14&e5=14&e6=13&e7=12&e8=0&e9=0&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=a0b0c0&g9=6080a0&h0=1&z

Après j'ai procédé comme suit pour montrer que @n est décroissante :
On a $h_n(\alpha_n)=0 = h_{n+1}(\alpha_{n+1})=0$
$h_n(\alpha_{n+1}) - h_n(\alpha_n) = h_n(\alpha_{n+1}) - h_{n+1}(\alpha_{n+1})$
A Partir de 1 , hn+1 > Hn et alpha > 1 DONC
$h_n(\alpha_{n+1}) - h_{n+1}(\alpha_{n+1}) < 0$
$=> h_n(\alpha_{n+1}) - h_n(\alpha) < 0$
$=> \alpha_{n+1} - \alpha{n} > 0$
$=> \alpha_{n+1} > \alpha_{n}$
donc @n est croissante , ...........
Ou'est ce que je me suis trompé ;(

[SoS-Math(9)]

Bonjour Saad ter C,

ton erreur viens du fait que ton hypothèse "A Partir de 1 , hn+1 > Hn" est fausse ...
Pour tout x > 1 et tout n>0, (n+1)(x-1) > n(x-1) et donc -(n+1)(x-1) < -n(x-1) donc $h_{n+1}(x)<h_n(x)$ !

SoSMath.

[Invité]

Bonjour Saad ter C,

ton erreur viens du fait que ton hypothèse "A Partir de 1 , hn+1 > Hn" est fausse ...
Pour tout x > 1 et tout n>0, (n+1)(x-1) > n(x-1) et donc -(n+1)(x-1) < -n(x-1) donc $h_{n+1}(x)<h_n(x)$ !

SoSMath.

oh j'avais oublier les moins ;( ; merci ;).

[SoS-Math(9)]

Bonne continuation.

SoSMath.