Exercice sur les SUITES.

[Ariane]

Bonjour, bonsoir

J'ai du mal à comprendre un exo sur les suites, voici l'énoncé :

On construit une spirale en disposant bout à bout les diagonales d'une suite de carrés. A chaque étape le côté du carré est divisé par 2; à l'étape 1, il est égal à 1.
(l'étape 1 est le premier gros carré tout seul, l'étape 2 le gros carré + le deuxième carré, l'étape 3 ...etc )

illustration : http://img402.imageshack.us/img402/6466/sffff.jpg

1) calculer à l'étape n la longueur Ln de la spirale.
2) que conjecturez-vous sur la limite de la suite quand n tend vers +infini ?

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Voilà ce que j'ai saisi :
il faut utiliser Pythagore, pour les diagonales. Donc

L1²=1²+1²
L1=racine(2)

L2²=(1/2)²+(1/2)²+L1
L2=...
L2=3racine(2)/2

L3=(1/4)²+(1/4)²+L2
L3=...
L3= 7racine(2)/4

je pense que c'est une suite géométrique mais je ne trouve pas q, raison géométrique.

Faut-il utiliser Un=Uo*q^n ?

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Merci de votre aide, je me sens perdue !

[sos-math(19)]

Bonsoir Ariane,

La diagonale d'un carré de côté \(a\) est \(a\times\sqrt{2}\).
Par ailleurs, lorsqu'on construit un carré de côté moitié, on applique un coefficient de réduction égal à \(\frac{1}{2}\).

Intéresse-toi d'abord à la suite \((d_n)\) des diagonales.

Bonne continuation.

[Ariane]

Merci !

Donc q=racine(2)

Un+1=Un*q
ex: U10=U9*q

Un=Uo*qn (pour trouver le terme général)
donc :
Un ou Ln=racine(2)*(racine(2))^n ? ...peut-on le simplifier ?

voilà j'espère avoir avancé :/

[sos-math(19)]

Bonsoir Ariane,

Le premier carré est un carré de côté \(1\), sa diagonale \(d_1\) vaut \(1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}\).
Le deuxième carré est un carré de côté \(\frac{1}{2}\), sa diagonale \(d_2\) vaut \(\frac{1}{2}\times\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

A toi de continuer.

[Ariane]

Un+1=Un+n*racine(2)

ai-je bon ?

[SoS-Math(8)]

Bonsoir,

Lisez bien le message de SoS-Math(19):

pour d3, le côté sera \(\frac{1}{4}\). donc la diagonale aura pour longueur :\(\frac{1}{4}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\).
Quelle est le lien entre d1,d2,d3 et tu trouveras la raison de la suite (dn)

[Ariane]

non je ne comprend pas. Ce n'est pas grave mon prof vient samedi. Merci quand même

[SoS-Math(8)]

Oui, rien ne vaut un contact oral pour avoir des explications...ce qui est de moins en moins le cas.

[Ariane]

bonjour,

j'ai eu mon cours hier. J'ai fini par tout comprendre l'exercice, mais je n'arrive pas à bien expliquer comment j'ai trouvé la suite Ln. Comment dois-je m'y prendre ? Expliquer littéralement ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ariane,

Tout d'abord il ne faut pas confondre la longueur (que je note Un) de la diagonale du n-ième carré et la longueur de la spirale Ln ....
Il faut montrer que la suite (Un) est une suite géométrique de raison ... (à toi de trouver!).
Puis calculer Ln qui est la somme des n premiers termes de la suite (Un).

Pour démontrer qu'une suite est géométrique, regarde dans ton cours ou cahier, tu trouveras la méthode ...
Pour calculer la somme des n premiers termes de la suite (Un), regarde dans ton cours, il doit y avoir une formule ...

Bon courage,
SoSMath.

[Ariane]

oui j'ai bien fait la différence, j'appelle la longueur de la diagonale Un, et la longueur totale de la spirale Ln (comme dans l'énoncé). Le problème est que j'ai un peu "deviné" Un : j'ai étudié les 5 premiers termes, leur dénominateur étaient en fait des 2 à différentes puissance, donc ca a donné : Un=1/2^n-1)*racine(2)

je reprend en fait la formule de la diagonale : a*racine(2), et j'ai trouvé le lien entre les différents termes grâce donc aux puissance (1,2,4,8,16...etc).

donc q=1/2, c'est une suite géométrique, puisque Un=q(n-1)*U1 (la même chose que Un=q(n)*Uo)

ensuite maintenant que j'ai Un, je cherche Ln grâce à Sn=Uo*((1-qn)/1-q)........ que je transforme un peu vu que c'est U1.

Et je tombe sur Ln=2racine2*(1-(1/2n))

Voilà... j'ai conscience que c'est pas du tout clair ou organisé ce que je viens d'expliquer mais c'est pour vous montrez que je ne sais absolument pas mettre à l'écrit proprement ce que j'ai compris !

Pouvez-vous m'aidez en m'expliquant comment rédiger la question ?

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
votre raisonnement est correct.
Vous pouvez commencer en disant que de carré en carré, le coté est divisé par 2 donc multiplié par1/2 donc il en est de même pour les diagonales.
Donc Un est une suite .......
Bon courage

[Ariane]

Dommage, j'ai lu votre message trop tard, le DM est rendu !Mais mon prof m'a aidé par téléphone, et on a pu construire le raisonnement clairement, c'est impeccable.
Bonne continuation de votre site très appréciable ! :)