Des finctions polynômes en Economie

[Marise]

Bonjour à vous,


Enoncé :

Compte tenu des conditions de production à un moment donné dans une chocolaterie, on modélise les variations de coûts de production (hors coûts fixes)
du chocolat de la façon suivante.
Pour une production de q tonnes de chocolat, q inférieur à 1000, on estime que le coût en euros, noté C(q), est donné par :
C(q) = 0.001q^3 - 1.5² + 900q.

1. Etude de la fonction coût C.
a. Calculer C'(q). Etudier le signe C'(q) sur l'intervalle [0 ; 1000].
b. En déduire que C est croissante sur [0 ; 1000].

2. Etude de la fonction coût moyen Cm.
On note Cm(q) le coût moyen, en euros, d'une tonne de chocolat pour une prodution de q tonnes de chocolat ( q pas égale a 0).
a. Vérifier que Cm(Q)= 0.001q²-1.5q + 900
b. Etudier les variations de la fonction Cm sur l'intervalle ]0 ; 1000].
c. En déduire la quantité q0 pour laquelle le coût moyen est minimal.
d. Montrer que la tengante à la courbe représentative de la fonction C, au point d'abscisse q0
passe par l'origine du repère.
Attention, il s'agit bien ici de la fonction C étudiée dans la partie 1.

Voilà, j'ai commencé à faire cet exercice mais je n'arrête pas de m'embrouiller, je vais donc vous expliquer ce que j'ai fait
en espérant que vous pourrez m'aider.

1a. J'ai donc calculé C'(q) la dérivée de C(q).
Alors C'(q) = 0.003q² - 3q + 900.
Ensuite j'ai remarqué que C'(q) est un trinôme alors j'ai cherché delta :
delta = b²- 4ac
= (-3)²- 4*0.003*900
= - 1.8
Sachant que mon trinôme est plus petit que 0 ma fonction n'admet aucune solution.
C'st à ce moment que j'ai compris que jem'était trompé quelque part, c'est pour cela que je vous demande de m'expliquer mon erreur afin de résoudre ce problème.

Merci d'avance.
Amandine

[sos-math(19)]

Bonsoir Marise,

1a. J'ai donc calculé C'(q) la dérivée de C(q).
Alors C'(q) = 0.003q² - 3q + 900.
Ensuite j'ai remarqué que C'(q) est un trinôme alors j'ai cherché delta :
delta = b²- 4ac
= (-3)²- 4*0.003*900
= - 1.8
Sachant que mon trinôme est plus petit que 0 ma fonction n'admet aucune solution.
C'st à ce moment que j'ai compris que jem'était trompé quelque part, c'est pour cela que je vous demande de m'expliquer mon erreur afin de résoudre ce problème.

C'(q) est un trinôme dont le discriminant est négatif.
Cela signifie qu'il n'a pas de racines et qu'il conserve un signe constant, celui de "a".
Ici a = 0,003, donc C'(q) est toujours strictement positif et en particulier sur l'intervalle [0 ; 1000].
Tu en déduis le sens de variation de la fonction C sur ce même intervalle.

Bonne continuation.

[Marise]

Bonjour,

Je n'ai pas vraiment compris ce que vous m'avez expliquer.
Est-ce que mon raisonnement est-il juste ?
Donc a= 0.003 Alors C'(q) est toujours positive, donc C est toujours positive aussi ?
Est ce bien cela.

Merci de répondre à mes qestions

[sos-math(19)]

Bonjour Marise,

Il faut revoir ton cours sur le second degré et, en particulier, la règle du signe du trinôme.

Considérons le trinôme : \(ax^2+bx+c\) et son discriminant \(\Delta=b^2-4ac\).

Si \(\Delta>0\), alors le trinôme a deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\).
Il est du signe de \(-a\) entre \(x_1\) et \(x_2\).
Il s'annule en \(x_1\) et \(x_2\).
Il est du signe de \(a\) à l'extérieur de l'intervalle \([x_1;x_2]\).

Si \(\Delta=0\), alors le trinôme a une racine double \(x_1=x_2\).
Hormis cette valeur pour laquelle il s'annule, il est du signe de \(a\) partout ailleurs.

Si \(\Delta<0\), alors le trinôme conserve un signe constant, celui de \(a\).

Ici, nous sommes dans ce dernier cas, en ce qui concerne \(C'(q)\), d'où mes explications précédentes.

Si ces nouvelles explications ne suffisent pas, précise alors ce que tu ne comprends pas.

Bonne continuation.

Remarque : je n'ai pas rappelé les formules de calcul des racines lorsqu'elles existent.

[Marise]

Merci oui je comprend mieux,

et à force de lire j'ai compris en cours.
Alors a étant positif, ma courbe sera strictement positive.
Aurevoir.

[sos-math(19)]

Bonjour Marise,

Petite correction.

\(a\) étant positif, \(C'(q)\) sera positif sur \([0;1000]\) et par conséquent \(C\) sera croissante sur cet intervalle.

A bientôt sur sos-math.